Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C且tan∠ACO=

1

3

，∠OBC=45°．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P（t，0）為線段OB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N當(dāng)△BMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M坐標(biāo)；
（3）在2）的條件下，延長MA交y軸于點(diǎn)D，在直線BC下方的拋物線上一點(diǎn)H，設(shè)H點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，直線AH、BH分別交y軸于點(diǎn)E、F，若EF：DF=4：3時(shí)，求m值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CO的長，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出M（t，t-3），進(jìn)而代入函數(shù)解析式求出即可；
（3）分別利用第一種情況點(diǎn)H在x軸上方時(shí)，得出△AKH∽△AOE，進(jìn)而由△BKH∽△BOF，得出比例式求出即可，
第二種情況當(dāng)點(diǎn)H在x軸的下方時(shí)，則△AKH∽△AOE，進(jìn)而得出△BKH∽△BOF，得出比例式求出即可．

解答：解：（1）∵tan∠ACO=

1

3

，
∴

OA

OC

=

1

3

，
∴OC=3，
∴C（3，0），
∵∠OBC=45°，
∴OB=OC=3，
將A（1，0），B（3，0）代入拋物線解析式得：

a+b+3=0 9a+3b+3=0

    
解得

a=1 b=-4

，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+3；

（2）如圖1，∵OC=OB，∴∠CBO=∠CBE=45°
∵△BMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，∠NBM=90°，
∴∠PBM=∠BMP=45°
∴PM=PB=3-t，
∴M（t，t-3），
t²-4t+3=t-3，
∴t₁=2，t₂=3（舍去），
∴M（2，-1）；

（3）第一種情況點(diǎn)H在x軸上方時(shí)，如圖2，
由OA=AP，MP∥y軸，
∴△OAD≌△PAM
∴OD=MP=1，
過點(diǎn)H作HK∥y軸 設(shè)點(diǎn)H橫坐標(biāo)為m
∴△AKH∽△AOE，
∴

AK

OA

=

HK

OE

  
即

1-m

m2-4m+3

=

1

OE

，

m-1

-(m-3)(m-1)

=

1

OE

，
∴OE=3-m，
又∵HK∥OF
∴△BKH∽△BOF，
∴

BK

OB

=

HK

OF

  即

3-m

3

=

m2-4m+3

OF

，

3-m

3

=

(m-3)(m-1)

OF

，
∴OF=3（1-m），
∴EF=OE-OF=2m，
DF=OF-OD=2-3m，
∴

EF

DF

=

4

3

，
∴

2m

2-3m

=

4

3

，
解得m =

4

9

；

第二種情況當(dāng)點(diǎn)H在x軸的下方時(shí)，如圖3，
∵△AKH∽△AOE，
∴

AK

OA

=

HK

OE

  
即

m-1

-(m2-4m+3)

=

1

OE

，
∴OE=3-m，
∴△BKH∽△BOF，
∴

BK

OB

=

HK

OF

  即

3-m

3

=

-(m2-4m+3)

OF

，
∴OF=3（m-1），
EF=OE+OF=2m，DF=3m-2，
∴

EF

DF

=

4

3

，
 

2m

3m-2

=

4

3

，
∴m =

4

3

，
綜上所述：m =

4

9

或m =

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．