【題目】閱讀下面材料:
小明遇到這樣一個問題:
如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,點D在AB上,且∠BAC=2∠DCB,求證:AC=AD.
小明發(fā)現(xiàn),除了直接用角度計算的方法外,還可以用下面兩種方法:
方法1:如圖2,作AE平分∠CAB,與CD相交于點E.
方法2:如圖3,作∠DCF=∠DCB,與AB相交于點F.
(1)根據(jù)閱讀材料,任選一種方法,證明AC=AD.
用學過的知識或參考小明的方法,解決下面的問題:
(2)如圖4,△ABC中,點D在AB上,點E在BC上,且∠BDE=2∠ABC,點F在BD上,且∠AFE=∠BAC,延長DC、FE,相交于點G,且∠DGF=∠BDE.
①在圖中找出與∠DEF相等的角,并加以證明;
②若AB=kDF,猜想線段DE與DB的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.
【答案】(1)證明見解析;(2)∠DEF=∠FDG,證明見解析;②結(jié)論:BD=kDE.理由見解析.
【解析】(1)方法一:如圖2中,作AE平分∠CAB,與CD相交于點E,想辦法證明△AEC≌△AED即可;
方法二:如圖3中,作∠DCF=∠DCB,與AB相交于點F,想辦法證明∠ACD=∠ADC即可;
(2)①如圖4中,結(jié)論:∠DEF=∠FDG.理由三角形內(nèi)角和定理證明即可;②結(jié)論:BD=kDE.如圖4中,如圖延長AC到K,使得∠CBK=∠ABC.首先證明△DFE∽△BAK,推出=,推出BK=kDE,再證明△BCD≌△BCK,可得BD=BK.
解:(1)方法一:如圖2中,作AE平分∠CAB,與CD相交于點E.
∵∠CAE=∠DAE,∠CAB=2∠DCB,
∴∠CAE=∠CDB.
∵∠CDB+∠ACD=90°,
∴∠CAE+∠ACD=90°,
∴∠AEC=90°.
∵AE=AE,∠AEC=∠AED=90°,
∴△AEC≌△AED,
∴AC=AD;
方法二:如圖3中,作∠DCF=∠DCB,與AB相交于點F.
∵∠DCF=∠DCB,∠A=2∠DCB,
∴∠A=∠BCF.
∵∠BCF+∠ACF=90°,
∴∠A+∠ACF=90°,
∴∠AFC=90°,
∵∠ACF+∠BCF=90°,∠BCF+∠B=90°,
∴∠ACF=∠B,
∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD,
∴AC=AD;
(2)①如圖4中,結(jié)論:∠DEF=∠FDG.
理由:在△DEF中,∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°,
在△DFG中,∠GFD+∠G+∠FDG=180°,
∵∠EFD=∠GFD,∠G=∠EDF,
∴∠DEF=∠FDG.
②結(jié)論:BD=kDE,
理由:如圖4中,如圖延長AC到K,使得∠CBK=∠ABC,
∵∠ABK=2∠ABC,∠EDF=2∠ABC,
∴∠EDF=∠ABK.
∵∠DFE=∠A,
∴△DFE∽△BAK,
∴=,
∴BK=kDE,
∴∠AKB=∠DEF=∠FDG.
∵BC=BC,∠CBD=∠CBK,
∴△BCD≌△BCK,
∴BD=BK,
∴BD=kDE
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明、小亮、小剛、小穎一起研究一道數(shù)學題,如圖,已知EF⊥AB,CD⊥AB,小明說:“如果還知道∠CDG=∠BFE,則能得到 ∠AGD=∠ACB.”
小亮說:“把小明的已知和結(jié)論倒過來,即由 ∠AGD=∠ACB ,
可得到 ∠CDG=∠BFE .”
小剛說:“∠AGD 一定大于∠BFE .”
小穎說:“如果連接 GF,則GF一定平行于AB .”
他們四人中,有____個人的說法是正確的.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于點D,AC的垂直平分線BE與CD交于點F,與AC交于點E.
(1)判斷△DBC的形狀并證明你的結(jié)論.
(2)求證:BF=AC.
(3)試說明CE=BF.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,若△ABC的∠ABC=50°,∠ACB=70°,延長CB至點D,使BD=BA,延長BC至E點,使CE=CA, 連接AD、AE,則∠DAE的度數(shù)為__________度.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在□ABCD中,O是AC、BD的交點,過點O 與AC垂直的直線交邊AD于點E,若□ABCD的周長為22cm,則△CDE的周長為( ).
A. 8cm B. 10cm C. 11cm D. 12cm
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以O(shè)B為一邊,在△OAB外作等邊三角形OBC,D是OB的中點,連接AD并延長交OC于E.
(1)求點B的坐標;
(2)求證:四邊形ABCE是平行四邊形;
(3)如圖2,將圖1中的四邊形ABCO折疊,使點C與點A重合,折痕為FG,求OG的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,點P在邊AB上,∠CPB的平分線交邊BC于點D,DE⊥CP于點E,DF⊥AB于點F.當△PED與△BFD的面積相等時,BP的值為( 。
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,P為AB邊上一動點.若△PAD與△PBC是相似三角形,則滿足條件的點P有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ACF≌△DBE,其中點A、B、C、D在一條直線上.
(1)若BE⊥AD,∠F=62°,求∠A的大小.
(2)若AD=9cm,BC=5cm,求AB的長.
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