Question

某單位準備印刷一批書面材料，現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇，甲廠的費用分為制版費和印刷費兩部分，乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費．甲廠的費用y（千元）與書面材料數(shù)量x（千份）的關系見下表：

書面材料數(shù)量x（千份）	0	1	2	3	4	5	6	…
甲廠的費用y（千元）	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	…

乙廠的印刷費用y（千元）與書面材料數(shù)量x（千份）的函數(shù)關系圖象如圖所示．
（1）請你直接寫出甲廠的費用y與x的函數(shù)解析式和其書面材料印刷單價，并在圖中坐標系中畫出甲廠的費用y與x的函數(shù)圖象．
（2）根據(jù)圖象，試求出當x在什么范圍內(nèi)時乙廠比甲廠的費用低？
（3）現(xiàn)有一客戶需要印10千份書面材料，想從甲、乙兩廠中選擇一家費用低的廠家，如果甲廠想把10千份書面材料的印刷工作承攬下來，在不降低制版費的前提下，每份書面材料的印刷費用最少降低多少元？

Answer 1

考點：一次函數(shù)的應用

專題：

分析：（1）觀察表格可知，當x=0時，y=1，得出甲廠的制版費為1千元；設y_甲=mx+n，將（0，1），（1，1.5）代入，運用待定系數(shù)法即可求出甲廠的印刷費用y_甲與x的函數(shù)解析式；由表格可知，每多印1千份書面材料，印刷費用多0.5千元，所以書面材料印刷單價為0.5元；運用兩點法可畫出甲廠印刷費用y_甲與x的函數(shù)圖象；
（2）先運用待定系數(shù)法分別求出0≤x≤2、x＞2時，y_乙與x的函數(shù)解析式，再求出兩函數(shù)的交點坐標，然后觀察圖象，y_乙落在y_甲下方的部分對應的x的范圍即為所求；
（3）先分別求出x=10時，甲、乙兩廠的印刷費用，進而得到甲廠想把10千份書面材料的印制工作承攬下來所需要降低的費用為1000元，然后根據(jù)甲廠降低的費用不小于1000，列出不等式．

解答：解：（1）由表格可知，甲廠的費用為：y_甲=

1

2

x+1，書面材料印刷單價為0.5元，圖象如圖所示：

（2）當0≤x≤2時，設乙廠的費用y（千元）與書面材料數(shù)量x（千份）的函數(shù)解析式為y_乙=kx，
由已知得2k=3，解得k=1.5，
所以y_乙=1.5x（0≤x≤2）；
當x＞2時，由圖象可設y_乙與x的函數(shù)解析式為y_乙=k′x+b，
由已知得

2k′+b=3 6k′+b=4

，解得

k′= 1 4 b= 5 2

，
所以y_乙=

1

4

x+

5

2

（x＞2）；
解方程組

y= 1 2 x+1 y=1.5x

，得

x=1   y=1.5

．
解方程組

y= 1 2 x+1 y= 1 4 x+ 5 2

，解得

x=6   y=4

．
所以兩函數(shù)的交點坐標為（1，1.5），（6，4），
觀察圖象，可得當0＜x＜1或x＞6時，乙廠比甲廠的印刷費用低；

（3）當x=10時，甲廠的印刷費用：y_甲=

1

2

×10+1=6，
乙廠的印刷費用：y_乙=

1

4

×10+

5

2

=5，
甲廠比乙廠多花：6-5=1千元=1000元．
設甲廠每份書面材料的印刷費用降低a元，
由題意，有10000a≥1000，
解得a≥0.1．
故甲廠每個材料印刷費最少降低0.1元．

點評：本題主要考查了一次函數(shù)及一元一次不等式在實際生活中的應用，涉及到的知識有運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平面直角坐標系中交點坐標的求法，函數(shù)圖象的畫法等，從圖表及圖象中獲取信息是解題的關鍵，屬于中檔題．