Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²-（m-3）x-m的圖象是拋物線．
（1）試求m為何值時(shí)，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是3？
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，方程x²-（m-3）x-m=0的兩個(gè)根均為負(fù)數(shù)？
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)P、Q，求當(dāng)PQ最短時(shí)△MPQ的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離得到

(m-3)2-4•(-m)

1

=3，然后解方程即可；
（2）由于△=（m-1）²+8＞0，根據(jù)判別式的意義得到方程x²-（m-3）x-m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)方程x²-（m-3）x-m=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=m-3＜0，x₁•x₂=-m＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可；
（3）據(jù)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離得到PQ=

(m-3)2-4•(-m)

，變形得到PQ=

(m-1)2+8

，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得m=1時(shí)，PQ的最短值為2

2

，此時(shí)拋物線解析式為y=x²+2x-1=（x+1）²-2，得到M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-2），然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意得

(m-3)2-4•(-m)

1

=3，
解得m₁=0，m₂=2，
即m為0或2時(shí)，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是3；
（2）∵△=（m-3）²-4•（-m）=m²-2m+9=（m-1）²+8＞0，
∴方程x²-（m-3）x-m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
設(shè)方程x²-（m-3）x-m=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=m-3＜0，x₁•x₂=-m＞0，
∴m＜0；
（3）∵PQ=

(m-3)2-4•(-m)

=

(m-1)2+8

，
∴m=1時(shí)，PQ最短，最短值為

8

=2

2

，此時(shí)拋物線解析式為y=x²+2x-1=（x+1）²-2，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-2），
∴△MPQ的面積=

1

2

×2×2

2

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為

b2-4ac

|a|

．