Question

在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

（1）如圖1，點D、E分別是AB、AC邊的中點，AF⊥BE交BC于點F，連結(jié)EF、CD交于點H．求證：EF⊥CD；
（2）如圖2，AD=AE，AF⊥BE于點G交BC于點F，過F作FP⊥CD交BE的延長線于點P，試探究線段BP，F(xiàn)P，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）據(jù)△ABE和△CAM全等求得AE=CM，∠5=∠M，由于AE=EC得出EC=CM，從而求得△EFC≌△MCF，進一步求得AD=AE，∠6=∠M，所以∠6=∠5；由△ABE≌△ACD得出∠1=∠3，由已知可得∠1+∠5=90°，所以∠3+∠6=90°即可求得．
（2）據(jù)△QCF≌△MCF求得FQ=FM，從而求得BP=BE+PE=AM+PQ=（AF+FM）+PQ=AF+FM+PQ=AF+FP，即BP=AF+FP．

解答：（1）證明：如圖，過點C作CM⊥AC交AF延長線于點M，
∵∠BAC=90°，AF⊥BE于G，
∴∠1+∠5=∠2+∠5=90°，
∴∠1=∠2
又∵∠BAC=∠ACM=90°，AB=AC
在△ABE和△CAM中，

∠1=∠2 AB=AC ∠BAC=∠ACM=90°

，
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴AE=CM，∠5=∠M
∵AE=EC
∴EC=CM
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵∠ACM=90°
∴∠4=90-45°=45°=∠ACF
在△EFC和△MFC中，

EC=MC ∠4=∠ECF CF=CF

，
∴△EFC≌△MCF（SAS），
∴∠6=∠M
∴∠6=∠5
∵AB=AC，點D、E分別是AB、AC邊的中點
∴AD=AE
在△ABE與△ACD中，

AB=CA ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴∠1=∠3
∴∠3+∠6=90°
∴∠EHC=90°
∴EF⊥CD．

（2）證明：如圖，過點C作CM⊥AC交AF延長線于點M，
由（1）得△ABE≌△CAM
AE=CM，∠5=∠M，BE=AM
由（1）得△ABE≌△ACD
∴∠1=∠3
∵FP⊥CD于H，∠BAC=90°
∴∠3+∠6=∠1+∠5
∴∠6=∠5
∴∠6=∠8，∠7=∠5
∴∠7=∠8
∴EP=QP
∵∠6=∠5，∠5=∠M
∴∠6=∠M
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵∠ACM=90°
∴∠4=90-45°=45°=∠ACF
在△QCF和△MCF中，

∠6=∠M CF=CF ∠4=∠ACF

△QCF≌△MCF（ASA）
∴FQ=FM
∴BP=BE+PE
=AM+PQ
=（AF+FM）+PQ
=AF+FM+PQ
=AF+FP
∴BP=AF+FP．

點評：本題考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，難度不大，熟練掌握三角形全等的判定方法并找出全等的條件是解題的關(guān)鍵．