Question

（14分） 已知⊙O的半徑為2，∠AOB=120°．

（1）點(diǎn)O到弦AB的距離為 .

（2）若點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合），設(shè)∠ABP=α，將△ABP沿BP折疊，得到A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A＇；

①若∠α=30°，試判斷點(diǎn)A＇與⊙O的位置關(guān)系；

②若BA＇與⊙O相切于B點(diǎn)，求BP的長(zhǎng)；

③若線段BA＇與優(yōu)弧APB只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出α的取值范圍.

 

 

Answer 1

（1）1；（2）①點(diǎn)A＇在⊙O上；②；③0°<α<30°或60°≤α<120°．

【解析】

試題分析：（1）過(guò)O作OD⊥AB于D，由等腰三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得到OD的長(zhǎng)；

（2）①當(dāng)∠α=30°時(shí)，可以得到PB就是直徑，因?yàn)锳在圓上，所以A關(guān)于直徑的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在圓上；

②如圖，得到∠AB A/=120°，從而有∠ABP=60°，∴△ABP是等邊三角形，得到BP=AB，由垂徑定理可得AB=，從而得到BP的長(zhǎng)；

③當(dāng)A＇在圓內(nèi)或圓外時(shí)，線段BA＇與優(yōu)弧APB只有一個(gè)公共點(diǎn)，從而得出0°<α<30°或60°≤α<120°．

試題解析：（1）過(guò)O作OD⊥AB于D，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴OD=OA=1；

（2）①連接A＇O∵∠AOB=120°∴∠APB=∠AOB=60°，∵∠PBA=30°，∴∠PAB=90°∴PB是⊙O的直徑，因?yàn)锳在圓上，所以A關(guān)于直徑的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A＇也在⊙O上；

②由翻折可知∠A＇B P =∠ABP，∵BA＇與⊙O相切，∴∠OB A/=90°∴∠AB A/=120°，∴∠A＇B P =∠ABP=60°，∵∠APB=60°∴△PAB為正三角形，∴BP=AB，

由（1）得AB=2AD=OD=，∴BP=；

③α的取值范圍為0°<α<30°或60°≤α<120°．

考點(diǎn)：圓的綜合題．