Question

如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點(diǎn)，分別過(guò)A，C兩點(diǎn)作x軸，y軸的垂線相交于B點(diǎn)，且OA，OC（OA＞OC）的長(zhǎng)分別是一元二次方程x²-14x+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求直線MN的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x的正半軸勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△ABP面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t=4秒時(shí)，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（2）分P在線段OA上和在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，兩種情況進(jìn)行討論，利用三角形的面積公式求解；
（3）分平行四邊形ACQP，平行四邊形APCQ和平行四邊形PQAC三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）解方程x²-14x+48=0得：x₁=6，x₂=8，
則OA=8，OC=6，A的坐標(biāo)是（8，0），C的坐標(biāo)是（0，6）．
設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：

8k+b=0 b=6

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
則直線MN的解析式是：y=-

3

4

x+6；
（2）當(dāng)P在線段OA上時(shí)，即0≤t≤8時(shí)，AP=8-t，
則S=

1

2

×（8-t）×6=24-3t，
當(dāng)t＞8時(shí)，AP=t-8，則S=

1

2

×（t-8）×6=3t-24；
（3）當(dāng)t=4秒時(shí)，P的坐標(biāo)是（4，0），
則當(dāng)是平行四邊形ACQP時(shí)，CQ∥x軸，且CQ=AP=4，則Q的坐標(biāo)是（-4，6）；
當(dāng)是平行四邊形APCQ時(shí)，CQ∥AP且CQ=AP，則Q的坐標(biāo)是（4，6）；
當(dāng)是平行四邊形PQAC時(shí)，AP的中點(diǎn)是（6，0），Q的縱坐標(biāo)是-6，設(shè)橫坐標(biāo)是m，則

m

2

=6，
解得：m=12，
則Q的坐標(biāo)是（12，-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及平行四邊形的判定，正確對(duì)以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形進(jìn)行討論是關(guān)鍵．