Question

如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x²-14x+48=0的兩個實數(shù)根．
（1）求直線MN的函數(shù)關系式；
（2）點P從O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x的正半軸勻速運動，運動時間為t，△ABP面積為S，求S與t的函數(shù)關系；
（3）在（2）的條件下，當t=4秒時，在平面內(nèi)是否存在一點Q，使得以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（2）分P在線段OA上和在線段OA的延長線上時，兩種情況進行討論，利用三角形的面積公式求解；
（3）分平行四邊形ACQP，平行四邊形APCQ和平行四邊形PQAC三種情況進行討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）解方程x²-14x+48=0得：x₁=6，x₂=8，
則OA=8，OC=6，A的坐標是（8，0），C的坐標是（0，6）．
設直線MN的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：

8k+b=0 b=6

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
則直線MN的解析式是：y=-

3

4

x+6；
（2）當P在線段OA上時，即0≤t≤8時，AP=8-t，
則S=

1

2

×（8-t）×6=24-3t，
當t＞8時，AP=t-8，則S=

1

2

×（t-8）×6=3t-24；
（3）當t=4秒時，P的坐標是（4，0），
則當是平行四邊形ACQP時，CQ∥x軸，且CQ=AP=4，則Q的坐標是（-4，6）；
當是平行四邊形APCQ時，CQ∥AP且CQ=AP，則Q的坐標是（4，6）；
當是平行四邊形PQAC時，AP的中點是（6，0），Q的縱坐標是-6，設橫坐標是m，則

m

2

=6，
解得：m=12，
則Q的坐標是（12，-6）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及平行四邊形的判定，正確對以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形進行討論是關鍵．