Question

△ABC的三條中線分別為m、n、p，用m、n、p圍成的△A′B′C′面積是原△ABC面積的多少倍？請證明．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)AD=m，BE=n，CF=p，過點(diǎn)F作FG∥AD，與過點(diǎn)D且平行于AB的直線相交于點(diǎn)G，連接DF、BG、DG、CG，利用中線的性質(zhì)得出四邊形AFGD是平行四邊形，四邊形BGDF是平行四邊形，四邊形BGCE是平行四邊形，進(jìn)而得出用m、n、p圍成的△A′B′C′面積與原△ABC面積關(guān)系．

解答：解：用m、n、p圍成的△A′B′C′面積是原△ABC面積的

3

4

倍
如圖所示：設(shè)AD=m，BE=n，CF=p，過點(diǎn)F作FG∥AD，與過點(diǎn)D且平行于AB的直線相交于點(diǎn)G，
連接DF、BG、DG、CG，
∵AF∥DG，F(xiàn)G∥AD，
∴四邊形AFGD是平行四邊形，
∴FG=AD=m，DG=AF=BF，
∵DG∥BF，
∴四邊形BGDF是平行四邊形，
∴DF∥BG，DF=BG，
∵DF是△ABC的中位線，
∴DF∥CE，DF=

1

2

AC=CE，
∴BG∥EC，BG=EC，
∴四邊形BGCE是平行四邊形，
∴CG=BE=n，
∴△CFG是由m、n、p圍成的三角形，
∵DF是△BCF的中線，
∴S_△CFD=

1

2

S_△BCF=

1

4

S_△ABC，
∵S_△CFD=S_△BFD=S_△GFD=S_△BDG=S_△CDG，
∴S_△CFG=S_△CFD+S_△GFD+S_△CDG=3S_△GFD=

3

4

S_△ABC，
即用m、n、p圍成的△A′B′C′面積是原△ABC面積的

3

4

倍．

點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及三角形中位線定理，作出正確輔助線是解題關(guān)鍵．