Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC交AC于E，交CD于F，F(xiàn)G∥CA于G，求證：四邊形CEGF是菱形．

Answer 1

考點：菱形的判定

專題：證明題

分析：利用角平分線的性質(zhì)首先得出DF=FN，進(jìn)而得出FC=GF，即可利用互余關(guān)系得出EC=FG，進(jìn)而求出四邊形CEGF是平行四邊形進(jìn)而求出它是菱形．

解答：證明：延長GF交BC于點N，
∵GF∥AC，
∴GN∥AC，
∴∠ACB=∠GNB=90°，
∵BE平分∠ABC交AC于E，∠FDB=∠FNB=90°，
∴FD=FN，
在Rt△BFN和Rt△BFD中

BF=BF DF=EN

，
∴Rt△BFN≌Rt△BFD（HL），
∴BD=BN，
在△CDB和△GNB中

∠CBD=∠GBN BD=BN ∠GNB=∠CDB

，
∴△CDB≌△GNB（ASA），
∴DC=GN，
∴CF=FG，
∵∠CEB+∠EBC=90°，
∠EBD+∠BFD=90°，∠CBE=∠DBF，
∴∠CEB=∠BFD，
又∵∠BFD=∠EFC，
∴∠CEB=∠CFE，
∴CE=CF，
∴CE=GF，
又∵FG∥AC，
∴四邊形CEGF是平行四邊形，
又∵FC=FG，
∴四邊形CEGF是菱形．

點評：此題主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得出FG=FC是解題關(guān)鍵．