Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，DE=2

3

，∠DPA=45°，求OP的長．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：連接OD，設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)垂徑定理求出DC，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于R的方程，求出R，求出OC=1，求出DC=CP=

3

，即可求出答案．

解答：解：連接OD，
設(shè)⊙O的半徑為R，
∵弦DE垂直平分半徑OA，
∴OC=AC=

1

2

R，
∵DE⊥AB，AB為直徑，
∴DC=CE=

1

2

DE=

1

2

×2

3

=

3

，
在Rt△DCO中，由勾股定理得：OD²=DC²+OC²，
R²=（

1

2

R）²+（

3

）²，
解得：R=2，
∴OC=

1

2

R=1，
∵DE⊥AB，
∴∠DCF=90°，
∵∠DPA=45°，
∴∠CDP=45°=∠DPA，
∴CP=DC=

3

，
∴OP=CP-OC=

3

-1．

點評：本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定，垂徑定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出OC和CP的長，題目比較好，難度適中．