Question

【題目】如圖一，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF和⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥EF，垂足為D．

（1）求證：∠CAD=∠BAC；

（2）如圖二，若把直線EF向上移動，使得EF與⊙O相交于G，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)G的右側(cè)），連接AC，AG，若題中其他條件不變，這時圖中是否存在與∠CAD相等的角？若存在，找出一個這樣的角，并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠CAD=∠BAC；

（2）∠CAD=∠BAG．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)定理以及等角的余角相等即可證明；

（2）構(gòu)造直徑所對的圓周角，根據(jù)等弧所對的圓周角相等以及等角的余角相等，發(fā)現(xiàn)∠BAC=∠GAD，再根據(jù)等式的性質(zhì)即可證明∠BAG=∠DAC．

試題解析：（1）證明：如圖一，連接OC，則OC⊥EF，且OC=OA，

易得∠OCA=∠OAC．

∵AD⊥EF，

∴OC∥AD．

∴∠OCA=∠CAD，

∴∠CAD=∠OAC．

即∠CAD=∠BAC．

（2）解：與∠CAD相等的角是∠BAG．

證明如下：

如圖二，連接BG．

∵四邊形ACGB是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠ABG+∠ACG=180°．

∵D，C，G共線，

∴∠ACD+∠ACG=180°．

∴∠ACD=∠ABG．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BAG+∠ABG=90°

∵AD⊥EF

∴∠CAD+∠ACD=90°

∴∠CAD=∠BAG．