Question

如圖，AD⊥BC，垂足為D．CD=1，AD=2，BD=4．
（1）求∠BAC的度數(shù)？并說明理由；
（2）P是邊BC上一點(diǎn)，連結(jié)AP，當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí)，求CP的長．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：首先由勾股定理求出AC和AB，再由勾股定理逆定理證出△ABC為直角三角形得出∠BAC=90°；當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí)，CP有三個(gè)解．

解答：解：（1）∠BAC=90°；理由：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°；
由勾股定理可得 AC²=AD²+CD²=1²+2²=5，AB²=AD²+BD²=2²+4²=20；
∴AC²+AB²=25；
∵BC²=（BD+CD）²=5²=25；
∴AC²+AB²=BC²；
∴△ABC是直角三角形；
∴∠BAC=90°；
（2）當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí)，有三種情況：
①當(dāng)AC=AP時(shí)，CP=2CD=2；
②當(dāng)AC=CP時(shí)，∵AC=

12+22

=

5

，∴CP=

5

；
③當(dāng)CP=AP時(shí)，CP=

1

2

BC=2.5；
因此，當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí)，CP的長為2或

5

或2.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理和逆定理以及等腰三角形的定義；由勾股定理求出AC和AB，再根據(jù)勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形得出∠BAC=90°；最后由等腰三角形的定義得出CP的長，注意有3個(gè)解．