Question

如圖（a），有一張矩形紙片ABCD，其中AD=6cm，以AD為直徑的半圓，正好與對邊BC相切，將矩形紙片ABCD沿DE折疊，使點A落在BC上，如圖（b）．則半圓被覆蓋部分（陰影部分）的面積為

 

．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：連接OK，作OH⊥DK于H，求出AD=2DC，推出DK=2DC，求出∠DA′C=30°，求出∠AOK，分別求出扇形AOK和三角形ODK的面積，相加即可得出答案．

解答：解：如圖，作OH⊥DK于H，連接OK．
∵以AD為直徑的半圓，正好與對邊BC相切，
∴AD=2CD，
∴A'D=2CD，
∵∠C=90°，
∴∠DA'C=30°，
∴∠ODH=30°，
∴∠DOH=60°，
∴∠DOK=120°，
∴∠AOK=60°，
∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm，
∴OH=

3

2

cm，DH=

3 3

2

cm；
∴DK=3

3

cm，
∴△ODK的面積為

1

2

×DK×OH=

1

2

×3

3

cm×

3

2

cm=

9 3

4

cm²，
∴陰影部分的面積S=S_扇形AOK+S_△ODK=

60π×32

360

cm²+

9 3

4

cm²=（

3

2

π+

9

4

3

）cm²
故答案為：（

3

2

π+

9

4

3

）cm²．

點評：此題考查了折疊問題，矩形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，解題時要注意找到對應(yīng)的等量關(guān)系，注意：圓的切線垂直于過切點的半徑；在直角三角形中，如果有一條直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30度．