Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC與點E、F，垂足為O．

（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；
（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止，在運動過程中，已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)全等推出OE=OF，得出平行四邊形AFCE，根據(jù)菱形判定推出即可，根據(jù)菱形性質(zhì)得出AF=CF，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）分情況討論可知，當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵AC的垂直平分線EF，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，

∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形．
∴AF=FC，
設AF=xcm，
則CF=xcm，BF=（8-x）cm，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴在Rt△ABF中，
由勾股定理得：4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，即AF=5cm；

（2）顯然當P點在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形；
同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上或P在BF，Q在CD時不構成平行四邊形，也不能構成平行四邊形．
因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，
∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，
∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得t=

4

3

．
∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=

4

3

秒．

點評：本題考查的是四邊形綜合題型，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，在解（3）時判斷出以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點P、Q的位置是解題的關鍵．