Question

如圖，取平行四邊形紙片ABCD，AB=6cm，BC=8cm，∠B=90°，將紙片折疊，使C點與A點重合，折痕為EF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）求折痕EF的長？

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,菱形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）平行四邊形對角線互相垂直即為菱形；
（2）第二問中在直角三角形中，對角線BD是已知，可設BE的長為x，利用勾股定理求出BE，OE即可．

解答：證明：（1）∵紙片沿過BD的中點D的直線對折、使B與D點重合，
∴OD=OB，∠DOE=∠BOF，
∵AB∥CD，
∴∠ODE=∠OBF，
∴△DOE≌△BOF，所以DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵EF⊥BD，
∴四邊形BEDF為菱形；

解：（2）連接BE，由題意可得：EF垂直平分BD，
所以BE=DE，又OB=

1

2

BD=

1

2

62+82

=5，
設BE=ED=x，則CE=8-x，
在直角△BCE中，由勾股定理可得：x²=（8-x）²+6²，解得x=

25

4

，
又在直角△ODE中，由勾股定理可得：OE=

DE2-OD2

=

( 25 4 )2-52

=

15

4

，
而△DOE≌△BOF，
所以OE=OF，
故EF=

15

2

．

點評：本題考查了翻折變換，用到菱形的判定以及矩形的性質(zhì)掌握菱形性質(zhì)的判定，會利用勾股定理求解一些簡單的直角三角形．