Question

【題目】已知：二次函數(shù)y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的圖象與x軸交于點A，B（A點在B點的左側(cè)），與y軸交于點C，△ABC的面積為12．

（1）求二次函數(shù)圖象的對稱軸與它的解析式；

（2）點D在y軸上，當(dāng)以A、O、D為頂點的三角形與△BOC相似時，求點D的坐標(biāo)；

（3）點D的坐標(biāo)為（﹣2，1），點P在二次函數(shù)圖象上，∠ADP為銳角，且tan∠ADP=2，求點P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）點D的坐標(biāo)為（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）；（3）P點的橫坐標(biāo)為﹣2或．

【解析】分析：根據(jù)對稱軸坐標(biāo)公式可求二次函數(shù)圖象的對稱軸；當(dāng)x=0時，y=4，可求點C的坐標(biāo)為(0,4)，，根據(jù)三角形面積公式可求進一步得到A點和B點的坐標(biāo)分別為(4,0),(2,0).待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式.

則分和兩種情況討論即可.

過D作軸于F，分兩種情況：①當(dāng)點P在直線AD的下方時,②當(dāng)點P在直線AD的上方時.分別求解.

詳解：（1）該二次函數(shù)的對稱軸是：直線

當(dāng)x=0時，y=4，

∴點C的坐標(biāo)為(0,4)，

∴

連接

∵

又∵點A，B關(guān)于直線x=1對稱，

∴A點和B點的坐標(biāo)分別為(4,0),(2,0).

∴4a+4a4=0,解得

∴所求二次函數(shù)的解析式為

（2）如圖1，∵

且

分兩種情況：

①當(dāng)時，

∴

即或

②當(dāng)時，

∴

即或

綜上所述，點D的坐標(biāo)為或或或；

（3）如圖2，過D作軸于F，分兩種情況：

①當(dāng)點P在直線AD的下方時，如圖所示:

由(1)得點A(4,0),點D(2,1)，

∴DF=1，AF=2.

在Rt△ADF中,得

延長DF與拋物線交于點,則點為所求,

∴點的坐標(biāo)為(2,4).

②當(dāng)點P在直線AD的上方時,延長P1A至點G使得AG=AP1，連接DG，作GH⊥x軸于點H，如圖所示.

可證△GHA≌△P1FA.

∴HA=AF,GH=P1F,GA=P1A.

又∵A(4,0),P1(2,4)，

∴點G的坐標(biāo)是(6,4).

易得DG的解析式為：

在中，

∴

∴

∴

∴

∴

∴

設(shè)DG與拋物線的交點為P2，則P2點為所求，設(shè)

代入DG的解析式中，

解得

∵P2 點在第二象限，

∴P2點的橫坐標(biāo)為（舍正）

綜上，P點的橫坐標(biāo)為或．