【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,同時點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動,當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)D,E運(yùn)動的時間是ts(0<t≤15).過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE,EF.
(1)求證:四邊形AEFD是平行四邊形;
(2)當(dāng)t為何值時,△DEF為直角三角形?請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)t=或12時,△DEF為直角三角形.
【解析】
(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠C=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF,得到DF=AE,根據(jù)平行四邊形的判定定理證明;
(2)分∠EDF=90°、∠DEF=90°兩種情況,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出算式,計算即可.
(1)∵∠B=90°,∠A=60°,
∴∠C=30°,
∴AB=AC=30,
由題意得,CD=4t,AE=2t,
∵DF⊥BC,∠C=30°,
∴DF=CD=2t,
∴DF=AE,
∵DF∥AE,DF=AE,
∴四邊形AEFD是平行四邊形;
(2)當(dāng)∠EDF=90°時,如圖①,
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠C=30°,
∴AD=2AE,即60﹣4t=2t×2,
解得,t=,
當(dāng)∠DEF=90°時,如圖②,
∵AD∥EF,
∴DE⊥AC,
∴AE=2AD,即2t=2×(60﹣4t),
解得,t=12,
綜上所述,當(dāng)t=或12時,△DEF為直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】初二年級教師對試卷講評課中學(xué)生參與的深度與廣度進(jìn)行評價調(diào)查,其評價項目為主動質(zhì)疑、獨(dú)立思考、專注聽講、講解題目四項.評價組隨機(jī)抽取了若干名初二學(xué)生的參與情況,繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖(均不完整),請根據(jù)圖中所給信息解答下列問題:
(1)在這次評價中,一共抽查了 名學(xué)生;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,項目“主動質(zhì)疑”所在的扇形的圓心角的度數(shù)為 度;
(3)請將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;
(4)如果全市有6000名初二學(xué)生,那么在試卷評講課中,“獨(dú)立思考”的初二學(xué)生約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,厘米,厘米,、是邊上的兩個動點(diǎn),其中點(diǎn)從點(diǎn)開始沿方向運(yùn)動,速度為1厘米/秒,點(diǎn)從點(diǎn)開始沿方向運(yùn)動,速度為2厘米/秒,若它們同時出發(fā),設(shè)出發(fā)的時間為秒.
(1)求出發(fā)2秒后,的長.
(2)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時,當(dāng)成為等腰三角形時,求點(diǎn)的運(yùn)動時間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝商場購進(jìn)一批T恤,每件進(jìn)價40元,出于營銷考慮,要求每件售價不得低于40元且不得高于60元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該T恤每周的銷售量(件)與每件售價(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系:當(dāng)銷售單價為44元時,銷量是72件,當(dāng)銷售單價為48元時,銷售量為64件.
(1)請直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)商場每周銷售這種T恤獲得350元的利潤時,每件的銷售單價是多少元?
(3) 設(shè)該商場每周銷售這種T恤所獲得的利潤為元,將該T恤銷售單價定為多少元時,才能使商場銷售該T恤所獲利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時,
①△ADC是 三角形;
②設(shè)△BDC的面積為,△AEC的面積為,則與的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)猜想論證:當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時,小明猜想(1)中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高,請你證明小明的猜想.
(3)拓展探究:如圖4,已知∠ABC=60°,點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn),且BD=CD=4,DE∥AB交BC于點(diǎn)E.若在射線BA上存在點(diǎn)F,使S△DCF=S△BDE,請直接寫出相應(yīng)的BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:點(diǎn)、、不在同一條直線上,.
(1)如圖1,當(dāng),時,求的度數(shù);
(2)如圖2,、分別為、的平分線所在直線,試探究與的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖3,在(2)的前提下,有,,直接寫出的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015年2月28日,在全國精神文明建設(shè)工作表彰大會上,白銀市榮獲中央文明委全國文明城市提名資格.3月11日,市委、市政府召開創(chuàng)建全國文明城市動員大會,確定了“讓生活更美好、讓城市更美麗”創(chuàng)城主題,以“五城聯(lián)創(chuàng)”和“六城同建”為抓手.全市上下同心協(xié)力、奮勇爭先,文明創(chuàng)建熱潮此起彼伏,形成了創(chuàng)建全國文明城市抱拳發(fā)力、聯(lián)合攻堅的生動局面.我市某中學(xué)數(shù)學(xué)課外興趣小組隨機(jī)走訪了部分市民,對A(領(lǐng)導(dǎo)高度重視)、B(整改措施有效)、C(市民積極參與)、D(市民文明素質(zhì)進(jìn)一步提高)四個類別進(jìn)行滿意度調(diào)查(只勾選最滿意的一項),并將調(diào)查結(jié)果制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)這次調(diào)查共走訪市民 人,∠α= 度.
(2)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.
(3)結(jié)合上面的調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果,請你對白銀市今后的文明城市創(chuàng)建工作提出好的建議.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 如圖,Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(,0)、(0,4),拋物線經(jīng)過B點(diǎn),且頂點(diǎn)在直線上.
【1】(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
【2】(2)若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的,當(dāng)四邊形ABCD是菱形時,試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上,并說明理由;
【3】(3)若M點(diǎn)是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)M作MN平行于y軸交CD于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t,MN的長度為l.求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求l取最大值時,點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)(與點(diǎn)A分別在直線BC兩側(cè)),且DB=DC,過點(diǎn)D作DE∥AC,交射線AB于E,連接AE交BC于F.
(1)求證:AD垂直BC;
(2)如圖1,點(diǎn)E在線段AB上且不與B重合時,求證:DE=AE;
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時,寫出線段DE,AC,BE的數(shù)量關(guān)系.
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