Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A（0，3），C（，0）．將矩形OABC繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形．設(shè)直線與軸交于點(diǎn)M、與軸交于點(diǎn)N，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、M、N．解答下列問(wèn)題：

（1）分別求出直線和拋物線所表示的函數(shù)解析式；

（2）將△MON沿直線MN翻折，點(diǎn)O落在點(diǎn)P處，請(qǐng)你判斷點(diǎn)P是否在拋物線上，說(shuō)明理由．

（3）將直線MN向上平移，使它與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，求此時(shí)直線的解析式．

（4）點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接P M，P N ，設(shè)所得△PMN的面積為S．

①求S的取值范圍；

②若△PMN的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有 個(gè)．

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）由題意可知B，B′的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式．由一次函數(shù)解析式可得到M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)即可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），連接OP，PM，由對(duì)稱的性質(zhì)可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的長(zhǎng)，由三角形的面積公式得出OE的長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出x、y的值，把x的值代入二次函數(shù)關(guān)系式看是否適合即可；

試題解析：（1）由題意得，B（-1，3），B′（3，1），

∴直線BB′的解析式為y=-x+，

直線BB′與x軸的交點(diǎn)為M（5，0），與y軸的交點(diǎn)N（0，），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-5）（x+1），

∵拋物線過(guò)點(diǎn)N，

∴=a×（-5）×1，

∴a=-，

∴拋物線的解析式為y=-（x-5）（x+1）=-x2+2x+；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），連接OP，PM，OP交NM于E，

∵O、P關(guān)于直線MN對(duì)稱，

∴OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，

∵N（0，），M（5，0），

∴MN=，OE=，

∴OP=2OE=2，

∴OP=①，

PM==5②，

①②聯(lián)立，解得

，

把x=2代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x2+2x+得，y=，

∴點(diǎn)P不在此二次函數(shù)的圖象上；

（3）直線MN即直線B的解析式為,

將直線MN向上平移后的解析式為:,

當(dāng)時(shí)，由△=0得b=

∴直線的解析式為y=—x+

（4）①分P在MN上方和P在MN下方

P（x，）

P在MN上方時(shí)，

∴

P在MN下方時(shí)，

0<S≤

②21．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.