Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC、BC是弦，D是

BC

的中點，DE⊥AB于E，交BC于F．已知AC=6，⊙O的半徑是5．
（1）求證：BC=2DE；
（2）求tan∠CBD的值．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,三角形中位線定理,圓周角定理,銳角三角函數的定義

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接OD交BC于點H，由全等三角形的判定定理得出△OBH≌△ODE，故∠OHB=∠C=90°，OH是△ABC的中位線，由中位線的性質即可得出結論；
（2）由（1）可知OH為△ABC的中位線，故OH=

1

2

AC=3，OD=OB=5，DH=OD-OH=2，由勾股定理求出DE的長，根據銳角三角函數的定義即可求出結論．

解答：解：（1）方法一：連接OD交BC于點H，
∵D是

BC

的中點，
∴∠CBD=∠ABC，
在△OBH與△ODE中，

∠DOE=∠DOE OB=OD ∠CBD=∠ABC

，
∴△OBH≌△ODE，
∴∠OHB=∠C=90°，
∴OH是△ABC的中位線，
∴DE=BH=

1

2

BC，
∴BC=2DE；
方法二：先設DE交⊙O于點G，

CD

=

DB

=

BG

，BC=DG=2DE．

（2）方法一：∵由（1）可知OH為△ABC的中位線，
∴OH=

1

2

AC=3，OD=OB=5，DH=OD-OH=2，
∴BH=

52-32

=4，
∴DE=4，
∴tan∠CBD=

DH

BH

=

2

4

=

1

2

．
方法二：連接AD，DE²=AE•BE，設AE=x＞5，DE²=x•（10-x），
∵DE=

1

2

BC=4，
∴4²=x•（10-x），解得x=8或x=2（舍去），
∴tan∠CBD=tan∠DAE=

DE

AE

=

4

8

=

1

2

．

點評：本題考查的是垂徑定理、勾股定理、三角形中位線的定理及銳角三角函數的定義，根據題意作出輔助線．構造出全等三角形是解答此題的關鍵．