Question

【題目】梯形中，，，，，、在上，平分，平分，、分別為、的中點(diǎn)，和分別與交于和，和交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）當(dāng)點(diǎn)在四邊形內(nèi)部時(shí)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）3或．

【解析】

（1）由中位線的性質(zhì)，角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得出，易證，則結(jié)論可證；

（2）過作交于點(diǎn)K，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)，則得到矩形，則有，，然后利用（1）中的結(jié)論有， ，在中，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)可得出QC，DQ的長(zhǎng)度，然后在中利用勾股定理即可找到y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）分兩種情況：點(diǎn)在梯形內(nèi)部和點(diǎn)在梯形內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)在梯形內(nèi)部時(shí)，有；當(dāng)點(diǎn)在梯形內(nèi)部時(shí)，有 ，分別結(jié)論（2）中的關(guān)系式即可求出EG的長(zhǎng)度．

（1）證明：、分別是、的中點(diǎn)，

．

平分，

．

又，

，

，

．

點(diǎn)是的中點(diǎn)，

．

．

（2）過作交于點(diǎn)K，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)，

∵，，，

∴四邊形是矩形，

，．

，，

，

同理：．

在中，

，

，，

．

，

．

在中，．

，

即．

．

（3）①點(diǎn)在梯形內(nèi)部．

∵是梯形的中位線，

，

即．

解得：，

即．

②點(diǎn)在梯形內(nèi)部．

同理：．

解得：，

即．

綜上所述，EG的長(zhǎng)度為3或．