Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點D是線段BC的中點，∠EDF=120°，DE與線段AB相交于點E，DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F．

（1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長；

（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF扔與線段AC相交于點F．求證：；

（3）如圖3，將（2）中的∠EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長線交與點F，作DN⊥AC于點N，若DN=FN，求證：．

Answer 1

【答案】2；見解析；見解析．

【解析】

試題根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得出DE⊥AB，從而得到BE的長度；取AB的中點G，連接DG，得出DG為△ABC的中位線，則DG=DC，∠BGD=∠C=60°，根據(jù)四邊形對角互補得出∠GED=∠DFC，從而得到△DEG和△DFC全等，得到EG=CF，得出答案；取AB的中點G，連接DG，同⑵，易證△DEG≌△DFC得出EG=CF，設CN=x，根據(jù)Rt△DCN得出CD=2x，DN=x，根據(jù)題意得出EG、BE與x的關(guān)系，從而進行說明．

試題解析：（1）、由四邊形AEDF的內(nèi)角和為，可知DE⊥AB，故BE=2

（2）、取AB的中點G，連接DG 易證：DG為△ABC的中位線，故DG=DC，∠BGD=∠C=60°

又四邊形AEDF的對角互補，故∠GED=∠DFC ∴△DEG≌△DFC 故EG=CF

∴BE+CF=BE+EG=BG=AB

（3）、取AB的中點G，連接DG 同⑵，易證△DEG≌△DFC 故EG=CF

故BE-CF=BE-EG=BG= 設 在Rt△DCN中，CD=2x，DN=

在RT△DFN中，NF=DN=，故EG=CF= BE=BG+EG=DC+CF=2x+=

故BE+CF=

故