Question

【題目】如圖，已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∠B的平分線BE交AC于D，交⊙O于E，過E作⊙O切線EF交BA的延長線于F．
（1）如圖1，求證：EF∥AC；

（2）如圖2，OP⊥AO交BE于點P，交FE的延長線于點M．求證：△PME是等腰三角形；

（3）如圖3，在（2）的條件下：CG⊥AB于H點，交⊙O于G點，交AC于Q點，如圖2，若sinF= ，EQ=5，求PM的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接OE，

∵EF是圓的切線，

∴OE⊥FE，

∴∠F+∠FOE=90°，

∴AB為直徑，

∴∠C=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∵BE是∠B的平分線，

∴∠OBE=∠CBE，

∵∠FOE=∠OEB+∠OBE，

∴∠EOF=∠ABC，

∴∠F=∠CAB，

∴EF∥AC；

（2）解：連接OC，OE，

∵OP⊥AO交BE于點P，

∴∠OPB+∠OBE=90°，

∵∠OEB+∠MEB=90°，

∴∠OPB=∠MEB，

又∵∠OPB=∠EPM，

∴∠MEP=∠MPE，

∴MP=ME，

∴△PME是等腰三角形；

（3）解：連接OE，

∵∠F=∠CAB，

∴sinF=sin∠CAB= ，

∵EG⊥AB于H點，

∴ ，

∴∠AEG=∠ABE，

∵∠ABE=∠EAC，

∴∠EAC=∠AEG，

∴AQ=EQ=5，

∵QH=3，AH=4，

∴EH=EQ+QH=8，

設(shè)OE=x，則OH=AO﹣AH=x﹣4，

在Rt△EHO中，x2=82+（x﹣4）2，

解得：x=10，

∴OE=10，

∵BE是∠B的平分線，

∴ ，

∴OE⊥AC，

∴∠CAB+∠AOD=90°，

∵∠EOM+∠AOD=90°，

∴∠EOM=∠CAB，

∴sin∠EOM= ，

∴tan∠EOM= = ，

∴ME= ，

∴PM=ME= ．

【解析】（1）EF是圓的切線，因此；連接OE，OE⊥FE，即∠F+∠FOE=90°，AB為直徑，得出∠ABC+∠CAB=90°，再證明∠OEB=∠OBE，由BE是∠B的平分線，得出∠OBE=∠CBE，再證明∠F=∠CAB，即可得出結(jié)論。
（2）連接OC，OE，由OP⊥AO得出∠OPB與∠OBE互余，∠OEB與∠MEB互余，得出∠OPB=∠MEB，再根據(jù)對頂角相等，推出MP=ME，即可得出結(jié)論。
（3）連接OE，根據(jù)已知求出sin∠CAB的值及EH的長，在Rt△EHO中，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程求出OE的長，再證明∠EOM=∠CAB，在Rt△EPM中，求出ME的長，即可得出PM的長。
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑才能正確解答此題．