Question

【題目】四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)E，且AE=EC，BE=ED，以AB為直徑的半圓過點(diǎn)E，圓心為O．
（1）利用圖1，求證：四邊形ABCD是菱形．

（2）如圖2，若CD的延長線與半圓相切于點(diǎn)F，且直徑AB=8．
①△ABD的面積為 ．
② 的長 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AE=EC，BE=ED，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

∵AB為直徑，且過點(diǎn)E，

∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是菱形．

（2）16, π
【解析】（2）①連結(jié)OF．

∵CD的延長線與半圓相切于點(diǎn)F，

∴OF⊥CF．

∵FC∥AB，

∴OF即為△ABD中AB邊上的高．

∴S△ABD= AB×OF= ×8×4=16，

∵點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，

∴S△OBE= S△ABD=4．②過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H．

∵AB∥CD，OF⊥CF，

∴FO⊥AB，

∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．

∴四邊形OHDF為矩形，即DH=OF=4．

∵在Rt△DAH中，sin∠DAB= = ，

∴∠DAH=30°．

∵點(diǎn)O，E分別為AB，BD中點(diǎn)，

∴OE∥AD，

∴∠EOB=∠DAH=30°，

∴ 的長度= = π．

所以答案是：16， π．

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用圓周角定理和切線的性質(zhì)定理，掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑即可以解答此題．