Question

已知在△ABC中，∠B=30°，∠A=15°，BC=2

3

-2，以A為圓心，以r為半徑，作⊙A與線段BC沒有公共點，求r的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計算題

分析：作AH⊥BC交BC的延長線于H，先證明△HAC為等腰直角三角形，設(shè)AH=x，則CH=x，AC=

2

x，在Rt△ABH中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BH=

3

AH，即x+2

3

-2=

3

x，解得x=2，所以AC=2

2

，AB=4，然后根據(jù)⊙A與線段BC沒有公共點確定r的范圍．

解答：解：作AH⊥BC交BC的延長線于H，如圖，
∵∠B=30°，
∴∠BAH=60°，
而∠A=15°，
∴∠CAH=45°，
∴△HAC為等腰直角三角形，
∴AH=CH，AC=

2

AH，
設(shè)AH=x，則CH=x，AC=

2

x，
在Rt△ABH中，BH=

3

AH，
∴x+2

3

-2=

3

x，解得x=2，
∴AC=2

2

，AB=4，
∴當以A為圓心，以r為半徑，作⊙A與線段BC沒有公共點時，r的取值范圍為2

2

＜r＜4．

點評：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d：直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了解直角三角形．