Question

如圖，已知直線AB分別交x軸、y軸于點(diǎn)A（-4，0）、B（0，3），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿直線AB向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)，將直線y=

3

4

x以每秒0.6個(gè)單位的速度向上平移，分別交AO、BO于點(diǎn)C、D，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜5）．
（1）證明：在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形ACDP總是平行四邊形；
（2）當(dāng)t取何值時(shí)，四邊形ACDP為菱形？且指出此時(shí)以點(diǎn)D為圓心，以DO長(zhǎng)為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，由待定系數(shù)法就可以求出直線AB的解析式，再由點(diǎn)的坐標(biāo)求出AO，BO的值，由勾股定理就可以得出AB的值，求出sin∠BAO的值，作PE⊥AO，表示出PE的值，得出PE=DO，就可以得出結(jié)論；
（2）由三角函數(shù)值表示CO的值，由菱形的性質(zhì)可以求出菱形的邊長(zhǎng)，作DF⊥AB于F由三角函數(shù)值就可以求出DO，DF的值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，由題意，得

0=-4k+b 3=b

，
解得：

k= 3 4 b=3

，
∴y=

3

4

x+3．
∴直線AB∥直線y=

3

4

x．
∵A（-4，0）、B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=5．
∴sin∠BAO=

3

5

，tan∠DCO=

3

4

．
作PE⊥AO，
∴∠PEA=∠PEO=90°
∵AP=t，
∴PE=0.6t．
∵OD=0.6t，
∴PE=OD．
∵∠BOC=90°，
∴∠PEA=∠BOC，
∴PE∥DO．
故四邊形PEOD是平行四邊形，
∴PD∥AO．
∵AB∥CD，
故四邊形ACDP總是平行四邊形；

（2）∵AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，
∴tan∠DCO=tan∠BAO=

3

4

．
∵DO=0.6t，
∴CO=0.8t，
∴AC=4-0.8t．
∵四邊形ACDP為菱形，
∴AP=AC，
∴t=4-0.8t，
∴t=

20

9

．
∴DO=

4

3

，AC=

20

9

．
∵PD∥AC，
∴∠BPD=∠BAO，
∴sin∠BPD=sin∠BAO=

3

5

．
作DF⊥AB于F．
∴∠DFP=90°，
∴DF=

4

3

．
∴DF=DO．
故以點(diǎn)D為圓心，以DO長(zhǎng)為半徑的圓與直線AB相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵．