Question

已知：如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．
（1）作∠B的平分線BM，交AC于點(diǎn)M；作AB的中點(diǎn)N（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；
（2）連接MN，求證：△AMN≌△BMN．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖,全等三角形的判定

專題：

分析：（1）作出∠B的平分線BM，交AC于點(diǎn)M；作AB的中點(diǎn)N，
（2）連接MN，由角的關(guān)系求出MN垂直平分AB，求出MN=MC，AM=BM，再證得RT△ANM和RT△BCM得出結(jié)論△AMN≌△BMN．

解答：解：（1）如圖，

（2）證明：如圖，連接MN，

∵BM是∠ABC的角平分線，∠ABC=60°，
∴∠NBM=∠MBC=30°，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠MBC，AM=BM
∵N為AB中點(diǎn)，
∴AN=BN，
∴∠ANM=∠BNM=90°
∵∠C=90°，
∴MN=MC，
在RT△ANM和RT△BCM中，

MN=MC AM=BM

∴RT△ANM和RT△BCM（HL）
∴△AMN≌△BMN．

點(diǎn)評：本題主要考查了復(fù)雜作圖及全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用角平分線及中線的性質(zhì)求出角與邊的關(guān)系．