Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線l：x=1，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)E，點(diǎn)F，點(diǎn)M都在直線l上，且點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，直線EA與直線OF交于點(diǎn)P．
（Ⅰ）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1），
①當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，如圖，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)F為直線l上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，記點(diǎn)P（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
（Ⅱ）若點(diǎn)M（1，m），點(diǎn)F（1，t），其中t≠0，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，當(dāng)OQ=PQ時(shí)，試用含t的式子表示m．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)綜合題,壓軸題

分析：（Ⅰ）①利用待定系數(shù)法求得直線OF與EA的直線方程，然后聯(lián)立方程組

y=x y=3x-6

，求得該方程組的解即為點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②由已知可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，t）．求得直線OF、EA的解析式分別是y=tx、直線EA的解析式為：y=（2+t）x-2（2+t）．則tx=（2+t）x-2（2+t），整理后即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=x²-2x；
（Ⅱ）同（Ⅰ），易求P（2-

t

m

，2t-

t2

m

）．則由PQ⊥l于點(diǎn)Q，得點(diǎn)Q（1，2t-

t2

m

），則OQ²=1+t²（2-

t

m

）²，PQ²=（1-

t

m

）²，所以1+t²（2-

t

m

）²=（1-

t

m

）²，化簡(jiǎn)得到：t（t-2m）（t²-2mt-1）=0，通過解該方程可以求得m與t的關(guān)系式．

解答：解：（Ⅰ）①∵點(diǎn)O（0，0），F(xiàn)（1，1），
∴直線OF的解析式為y=x．
設(shè)直線EA的解析式為：y=kx+b（k≠0）、
∵點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M（1，-1）對(duì)稱，
∴E（1，-3）．
又A（2，0），點(diǎn)E在直線EA上，
∴

0=2k+b -3=k+b

，
解得

k=3 b=-6

，
∴直線EA的解析式為：y=3x-6．
∵點(diǎn)P是直線OF與直線EA的交點(diǎn)，則

y=x y=3x-6

，
解得

x=3 y=3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，3）．

②由已知可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，t）．
∴直線OF的解析式為y=tx．
設(shè)直線EA的解析式為y=cx+d（c、d是常數(shù)，且c≠0）．
由點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M（1，-1）對(duì)稱，得點(diǎn)E（1，-2-t）．
又點(diǎn)A、E在直線EA上，
∴

0=2c+d -2-t=c+d

，
解得

c=2+t d=-2(2+t)

，
∴直線EA的解析式為：y=（2+t）x-2（2+t）．
∵點(diǎn)P為直線OF與直線EA的交點(diǎn)，
∴tx=（2+t）x-2（2+t），即t=x-2．
則有 y=tx=（x-2）x=x²-2x；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直線OF的解析式為y=tx．
直線EA的解析式為y=（t-2m）x-2（t-2m）．
∵點(diǎn)P為直線OF與直線EA的交點(diǎn)，
∴tx=（t-2m）x-2（t-2m），
化簡(jiǎn)，得 x=2-

t

m

．
有 y=tx=2t-

t2

m

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2-

t

m

，2t-

t2

m

）．
∵PQ⊥l于點(diǎn)Q，得點(diǎn)Q（1，2t-

t2

m

），
∴OQ²=1+t²（2-

t

m

）²，PQ²=（1-

t

m

）²，
∵OQ=PQ，
∴1+t²（2-

t

m

）²=（1-

t

m

）²，
化簡(jiǎn)，得 t（t-2m）（t²-2mt-1）=0．
又∵t≠0，
∴t-2m=0或t²-2mt-1=0，
解得 m=

t

2

或m=

t2-1

2t

．
則m=

t

2

或m=

t2-1

2t

即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題型．涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題．此題難度不大，掌握好兩直線間的交點(diǎn)的求法和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式就能解答本題．