【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的中點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CF于點F.
(1)求證:AE=EF;
(2)如圖2,若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”,其余條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立? ;(填“成立”或“不成立”);
(3)如圖3,若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”,其余條件仍不變,那么結(jié)論AE=EF是否成立呢?若成立請證明,若不成立說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)成立;(3)成立,證明見解析.
【解析】試題分析:(1)取AB中點M,連接EM,求出BM=BE,得出∠BME=45°,求出∠AME=∠ECF=135°,求出∠MAE=∠FEC,根據(jù)ASA推出△AME和△ECF全等即可;
(2)截取BE=BM,連接EM,求出AM=EC,得出∠BME=45°,求出∠AME=∠ECF=135°,求出∠MAE=∠FEC,根據(jù)ASA推出△AME和△ECF全等即可;
(3)在BA的延長線上取一點N,使AN=CE,連接NE,根據(jù)已知利用ASA判定△ANE≌△ECF,因為全等三角形的對應邊相等,所以AE=EF.
試題解析:(1)證明:取AB中點M,連接EM,
∵AB=BC,E為BC中點,M為AB中點,
∴AM=CE=BE,
∴∠BME=∠BME=45°,
∴∠AME=135°=∠ECF,
∵∠B=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠FEC=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
在△AME和△ECF中,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
(2)成立,
理由是:如圖,在AB上截取BM=BE,連接ME,
∵∠B=90°,
∴∠BME=∠BEM=45°,
∴∠AME=135°=∠ECF,
∵AB=BC,BM=BE,
∴AM=EC,
在△AME和△ECF中,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
(3)成立.
證明:如圖,在BA的延長線上取一點N.使AN=CE,連接NE,
∴BN=BE,
∴∠N=∠NEC=45°,
∵CF平分∠DCG,
∴∠FCE=45°,
∴∠N=∠ECF,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD∥BE,
∴∠DAE=∠BEA,即∠DAE+90°=∠BEA+90°,
∴∠NAE=∠CEF,
∴△ANE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
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【題目】如圖,△ABC和△ADC分別在AC的兩側(cè),∠BAC:∠B:∠ACB=4:3:2,且∠DAC=40°.
(1)試說明AD∥BC.
(2)若AB與CD也平行,求∠D的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了鼓勵送彩電下鄉(xiāng),國家決定對購買彩電的農(nóng)戶實行政府補貼.規(guī)定每購買一臺彩電,政府補貼若干元,經(jīng)調(diào)查某商場銷售彩電臺數(shù)y(臺)與補貼款額x(元)之間大致滿足如圖①所示的一次函數(shù)關(guān)系.隨著補貼款額x的不斷增大,銷售量也不斷增加,但每臺彩電的收益Z(元)會相應降低且Z與x之間也大致滿足如圖②所示的一次函數(shù)關(guān)系。
(1)在政府未出臺補貼措施前,該商場銷售彩電的總收益額為多少元?
(2)在政府補貼政策實施后,分別求出該商場銷售彩電臺數(shù)y和每臺家電的收益z與政府補貼款額x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)要使該商場銷售彩電的總收益w(元)最大,政府應將每臺補貼款額x定為多少并求出總收益w的最大值。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某超市銷售一種飲料,每瓶進價為4元.經(jīng)市場調(diào)查表明,當售價在5元到8元之間(含5元,8元)浮動時,每瓶售價每增加1元,日均銷售量減少40瓶;當售價為每瓶為6元時,日均銷售量為120瓶.問:銷售價格定為每瓶多少元時,所得日均毛利潤(每瓶毛利潤=每瓶售價-每瓶進價)最大?最大日均毛利潤為多少元?
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線x=2,且圖象過點(1,2),與一次函數(shù)y=x+m的圖象交于(0,-1).
求兩個函數(shù)解析式;
求兩個函數(shù)圖象的另一個交點.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在“愛我永州”中學生演講比賽中,五位評委分別給甲、乙兩位選手的評分如下:
甲:8、7、9、8、8
乙:7、9、6、9、9
則下列說法中錯誤的是( )
A.甲、乙得分的平均數(shù)都是8
B.甲得分的眾數(shù)是8,乙得分的眾數(shù)是9
C.甲得分的中位數(shù)是9,乙得分的中位數(shù)是6
D.甲得分的方差比乙得分的方差小
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,點F為BE中點,連結(jié)DF、CF.
(1)如圖1, 當點D在AB上,點E在AC上,請直接寫出此時線段DF、CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系(不用證明);
(2)如圖2,在(1)的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°時,請你判斷此時(1)中的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷;
(3)如圖3,在(1)的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°時,若AD=1,AC=,求此時線段CF的長(直接寫出結(jié)果).
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