Question

如圖，一次函數(shù)y=2x-6與反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象交于點(diǎn)A（4，2），與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得k的值，得到函數(shù)的解析式；在一次函數(shù)y=2x-6中，令y=0，即可求得B的橫坐標(biāo)；
（2）分A、B、C分別是等腰三角形的頂角頂點(diǎn)，三種情況進(jìn)行討論，即可求解．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象過點(diǎn)A（4，2），
∴2=

k

4

，解得k=8．
所以反比例函數(shù)解析式為y=

8

x

，
∵直線y=2x-6與x軸交于點(diǎn)B，∴當(dāng)y=0時(shí)，2x-6=0，解得x=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

（2）AB=

(4-3)2+22

=

5

，
當(dāng)B是等腰三角形的頂角頂點(diǎn)時(shí)，BC=AB，則OC=3+

5

或3-

5

，即C的坐標(biāo)C₁（3+

5

，0）；C₂（3-

5

，0）；
當(dāng)A是等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)時(shí)，AC=AB，過A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，則BD=DC=4-3=1，則OC=3+1+1=5，則C的坐標(biāo)是（5，0）；
當(dāng)C是等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)是（

7

2

，1），則設(shè)過AB的中點(diǎn)與C的直線的解析式是：y=-

1

2

x+b，把（

7

2

，1）代入得：-

7

4

+b=1，
解得：b=

11

4

，
則解析式是：y=-

1

2

x+

11

4

，
令y=0，解得：x=

11

2

．
則C的坐標(biāo)是（

11

2

，0）．
總之，C的坐標(biāo)是：C₁（3+

5

，0）；C₂（3-

5

，0）；C₃（5，0）；C₄（

11

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，以及等腰三角形的性質(zhì)，正確對(duì)C的位置進(jìn)行討論是關(guān)鍵．