Question

【題目】如圖，拋物線y＝（x+2）2+m與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．點D在拋物線上，且與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，拋物線的頂點為M，點B的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式及A，C，D的坐標(biāo)；

（2）判斷△ABM的形狀，并證明你的結(jié)論；

（3）若點P是直線BD上一個動點，是否存在以P，C，D為頂點的三角形與△ABD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；拋物線的解析式為y＝（x+2）2﹣1；A（﹣3，0）；C（0，3）；D（﹣4，3）；（2）△ABM是等腰直角三角形；見解析；（3）存在，理由見解析；

【解析】

（1）把B（﹣1，0）代入拋物線解析式可求出拋物線的解析式，分別令x=0和y=0可求得A，C的坐標(biāo)，利用拋物線是軸對稱的性質(zhì)可求得D的坐標(biāo)；

（2）作MN⊥x軸，利用拋物線是軸對稱的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)可求得∠MAN＝∠MBN＝45°，從而得到△ABM是等腰直角三角形；

（3）需要分類討論：△ABD∽△PDC、△ABD∽△CDP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得的長度，然后可求得點的坐標(biāo)．

解：（1）把B（﹣1，0）代入拋物線解析式得，

（﹣1+2）2+m＝0，

解得m＝﹣1，

∴拋物線的解析式為y＝（x+2）2﹣1，

當(dāng)y＝0時，（x+2）2﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，

∴A（﹣3，0）．

當(dāng)x＝0時，y＝（x+2）2﹣1＝3，

∴C（0，3）

∵拋物線對稱軸是直線x＝﹣2，C，D兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，

∴D（﹣4，3）；

（2）△ABM是等腰直角三角形；

證明：∵拋物線y＝（x+2）2﹣1的頂點是M，

∴M（﹣2，﹣1），

作MN⊥x軸于N，則N（﹣2，0）．

∴AN＝BN＝MN＝1，

∴AM＝BM，

tan∠MAN＝tan∠MBN＝1，

∴∠MAN＝∠MBN＝45°，

∴∠AMB＝180°﹣∠MAN﹣∠MBN＝90°，

∴△ABM是等腰直角三角形；

（3）存在，理由：

①當(dāng)△ABD∽△PDC時，

，即：，

則PD＝ ，

過點P分別作x、y軸的垂線交于點M、N，

則PM＝＝DM，

則點P（，）；

②當(dāng)△ABD∽△CDP時，

同理可得：點P（2，﹣3）

綜上，點P（，）或P2（2，﹣3）