【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B、C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),連接AB、AC.
(1)請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達(dá)式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動,當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時,請直接寫出此時點(diǎn)N的坐標(biāo);
(4)若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(不與點(diǎn)B、C重合),過點(diǎn)N作NM∥AC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)△AMN面積最大時,求此時點(diǎn)N的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)△ABC是直角三角形.(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0).(4)當(dāng)△AMN面積最大時,N點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得;
(2)根據(jù)拋物線的解析式求得B的坐標(biāo),然后根據(jù)勾股定理分別求得AB2=20,AC2=80,BC10,然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得△ABC是直角三角形.
(3)分別以A、C兩點(diǎn)為圓心,AC長為半徑畫弧,與x軸交于三個點(diǎn),由AC的垂直平分線與x軸交于一個點(diǎn),即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo);
(4)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0),則BN=n+2,過M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D,根據(jù)三角形相似對應(yīng)邊成比例求得MD=(n+2),然后根據(jù)S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
得出關(guān)于n的二次函數(shù),根據(jù)函數(shù)解析式求得即可.
解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B、C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),
∴,
解得.
∴拋物線表達(dá)式:y=﹣x2+x+4;
(2)△ABC是直角三角形.
令y=0,則﹣x2+x+4=0,
解得x1=8,x2=﹣2,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,0),
由已知可得,
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∵BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形.
(3)∵A(0,4),C(8,0),
∴AC==4,
①以A為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸于N,此時N的坐標(biāo)為(﹣8,0),
②以C為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸于N,此時N的坐標(biāo)為(8﹣4,0)或(8+4,0)
③作AC的垂直平分線,交x軸于N,此時N的坐標(biāo)為(3,0),
綜上,若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動,當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時,點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0).
(4)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0),則BN=n+2,過M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D,
∴MD∥OA,
∴△BMD∽△BAO,
∴=,
∵MN∥AC
∴=,
∴=,
∵OA=4,BC=10,BN=n+2
∴MD=(n+2),
∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
=BNOA﹣BNMD
=(n+2)×4﹣×(n+2)2
=﹣(n﹣3)2+5,
∴當(dāng)△AMN面積最大時,N點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).
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【題目】近年來,中學(xué)生的身體素質(zhì)普遍下降,某校為了提高本校學(xué)生的身體素質(zhì),落實(shí)教育部門“在校學(xué)生每天體育鍛煉時間不少于1小時”的文件精神,對部分學(xué)生的每天體育鍛煉時間進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計.以下是本次調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.
組別 | A | B | C | D | E |
時間t(分鐘) | t<40 | 40≤t<60 | 60≤t<80 | 80≤t<100 | t≥100 |
人數(shù) | 12 | 30 | a | 24 | 12 |
(1)本次被調(diào)查的學(xué)生數(shù)是 人;
(2)統(tǒng)計表中a的值為 ;
(3)各組人數(shù)的眾數(shù)是 ;
(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,請你估計該校2400名學(xué)生中每天體育鍛煉時間不少于1小時的學(xué)生人數(shù).
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【題目】如圖:在平面直角坐標(biāo)系中,網(wǎng)格中每一個小正方形的邊長為1個單位長度,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,2),B(1,0),C(3,1).
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A1B1C1;
(2)畫出將△ABC繞原點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°所得作的△A2B2C2,并求出C2的坐標(biāo);
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)A經(jīng)過的路徑為弧,那么的長為 ;
(4)△A1B1C1與△A2B2C2成中心對稱嗎?若成中心對稱,寫出對稱中心的坐標(biāo).
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【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,∠EDC=∠CAB,∠DEC=90°.
(1)求證:AC∥DE;
(2)過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F,連接EF,試判別四邊形BCEF的形狀,并說明理由.
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