Question

【題目】我們知道，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線的解析式可以是y=ax2+bx（a≠0）
（1）對(duì)于這樣的拋物線：
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，a=；
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時(shí)，a與m之間的關(guān)系式是
（2）繼續(xù)探究，如果b≠0，且過原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線y=kx（k≠0）上，請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示b；
（3）現(xiàn)有一組過原點(diǎn)的拋物線，頂點(diǎn)A1 ， A2 ， …，An在直線y=x上，橫坐標(biāo)依次為1，2，…，n（為正整數(shù)，且n≤12），分別過每個(gè)頂點(diǎn)作x軸的垂線，垂足記為B1 ， B2 ， …，Bn ， 以線段AnBn為邊向右作正方形AnBnCnDn ， 若這組拋物線中有一條經(jīng)過Dn ， 求所有滿足條件的正方形邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）﹣1；a=﹣ 或am+1=0
（2）

解：∵a≠0，

∴y=ax2+bx=a（x+ ）2﹣ ，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣ ，﹣ ）．

又∵該頂點(diǎn)在直線y=kx（k≠0）上，

∴k（﹣ ）=﹣ ．

∵b≠0，

∴b=2k

（3）

解：∵頂點(diǎn)A1，A2，…，An在直線y=x上，

∴可設(shè)An（n，n），點(diǎn)Dn所在的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t）．

∴a=﹣ ，b=2，

∴由（1）（2）可得，點(diǎn)Dn所在的拋物線解析式為y=﹣ x2+2x．

∵四邊形AnBnCnDn是正方形，

∴點(diǎn)Dn的坐標(biāo)是（2n，n），

∴﹣ （2n）2+22n=n，

∴4n=3t．

∵t、n是正整數(shù)，且t≤12，n≤12，

∴n=3，6或9．

∴滿足條件的正方形邊長(zhǎng)是3，6或9

【解析】解：（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
∴ ，
解得， ，
即當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，a=﹣1；
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時(shí)， ，
解得，
則a與m之間的關(guān)系式是：a=﹣ 或am+1=0．
故答案是：﹣1；a=﹣ 或am+1=0．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．