Question

（8分）如圖，在直角梯形紙片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD>AD，將紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)E處，折痕為DF．連接EF并展開紙片．

（1）求證：四邊形ADEF是正方形；

（2）取線段AF的中點(diǎn)G，連接EG，如果BG=CD，試說明四邊形GBCE是等腰梯形．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：由題意知，AD=DE，易證四邊形AFED是矩形，∴四邊形AFED是正方形，連接DG由于BG與CD平行且相等，所以邊形BCDG是平行四邊形∴CB=DG，在正方形AFED中，易證△DAG≌△EFG，∴DG=EG=BC，即四邊形GBCE是等腰梯形．

解答：證明：（1）∵△DEF由△DAF折疊而得，∴∠DEF=∠A=90°，DA=DE，

∵AB∥CD，∴∠ADE=180°﹣∠A=90°．∴∠DEF=∠A=∠ADE=90°．∴四邊形ADEF是矩形．

又∵DA=DE，∴四邊形ADEF是正方形；

（2）由折疊及圖形特點(diǎn)易得EG與CB不平行，連接DG，

∵BG∥CD，且BG=CD，∴四邊形BCDG是平行四邊形．∴CB=DG．

∵四邊形ADEF是正方形，∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．

∵G是AF的中點(diǎn)，∴AG=FG．

在△DAG和△EFG中，∵DA=EF，∠A=∠EFG，AG=FG，∴△DAG≌△EFG（SAS），∴DG=EG，

∴EG=BC，四邊形GBCE是等腰梯形．

考點(diǎn)：1．翻折變換（折疊問題）；2．正方形的判定；3．等腰梯形的判定．