Question

【題目】如圖1，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)G，∠BCD＝90°．

（1）求證：∠BAG＝∠BGA；

（2）如圖2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)E、交射線GA于點(diǎn)F．求∠AFC的度數(shù)；

（3）如圖3，線段AG上有一點(diǎn)P，滿(mǎn)足∠ABP＝3∠PBG，過(guò)點(diǎn)C作CH∥AG．若在直線AG上取一點(diǎn)M，使∠PBM＝∠DCH，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）20°或160°；（3）的值是5或．

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠GAD＝∠BGA，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠BAG＝∠GAD，最后利用等量代換即可求出結(jié)論；

（2）根據(jù)點(diǎn)E在線段AD上和點(diǎn)E在射線DA的延長(zhǎng)線上分類(lèi)討論，根據(jù)畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)和等量代換分別求出結(jié)論即可；

（3）根據(jù)點(diǎn)M在BP下方和BP上方分類(lèi)討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，設(shè)∠ABC＝4x，

根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義分別表示出∠ABM和∠GBM，即可求出結(jié)論．

（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠GAD＝∠BGA，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG＝∠GAD，

∴∠BAG＝∠BGA；

（2）解：①若點(diǎn)E在線段AD上，

∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，

∴∠GCF＝45°，

∵AD∥BC，

∴∠AEF＝∠GCF＝45°，

∵∠ABC＝50°，

∴∠DAB＝180°﹣50°＝130°，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG＝∠GAD＝65°，

∴∠AFC＝65°﹣45°＝20°；

②若點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上，如圖4，

∵∠AGB＝65°，∠BCF＝45°，

∴∠AFC＝∠CGF+∠BCF＝115°+45°＝160°；

（3）解：有兩種情況：

①當(dāng)M在BP的下方時(shí)，如圖5，

設(shè)∠ABC＝4x，

∵∠ABP＝3∠PBG，

∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，

∵AG∥CH，

∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，

∵∠BCD＝90°，

∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，

∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM=∠PBM－PBG=x

∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；

②當(dāng)M在BP的上方時(shí)，如圖6，

同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM=∠PBG＋∠PBM=3x

∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．

綜上，的值是5或．