【題目】問(wèn)題探究:
(1)如圖①,點(diǎn)M、N分別為四邊形ABCD邊AD、BC的中點(diǎn),則四邊形BNDM的面積與四邊形ABCD的面積關(guān)系是 .
(2)如圖②,在四邊形ABCD中,點(diǎn)M、N分別為AD、BC的中點(diǎn),MB交AN于點(diǎn)P,MC交DN于點(diǎn)Q,若S△四邊形MPNQ=10,則S△ABP+S△DCQ的值為多少?
(3)問(wèn)題解決
在矩形ABCD中,AD=2,DC=4,點(diǎn)M、N為AB上兩點(diǎn),且滿足BN=2AM=2MN,連接MC、MD.若點(diǎn)P為CD上任意一點(diǎn),連接AP、NP,使得AP與DM交于點(diǎn)E,NP與MC交于點(diǎn)F,則四邊形MEPF的面積是否存最大值?若存在,請(qǐng)求出最大面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)S四邊形BNDM= S四邊形ABCD
(2)解:連接BD.
∵M(jìn)、N是AD、BC中點(diǎn),
∴S△ABM=S△BDM,S△BDN=S△CDN,(等底同高的兩個(gè)三角形面積相等)
∴S四邊形BMDN= S四邊形ABCD.
同理,S四邊形ANCM= S四邊形ABCD.
∴S四邊形ANCM+S四邊形BMDN=S四邊形ABCD,
∴S四邊形MPNQ=S△ABP+S△CDQ=10;
(3)連接PM,
設(shè)DP=x,則PC=4﹣x,
∵AM∥DP,
∴ = ,
∴ = ,即 = ,
∵ = 且S△APM= AMAD=1,
∴S△MPE= ,
同理可得,S△MPF= ,
∴S= + =2﹣ ﹣ =2﹣ =2+ ≤2﹣ = ,
當(dāng)x=2時(shí),上式等號(hào)成立,
∴S的最大值為: .
【解析】解:(1)S四邊形BNDM= S四邊形ABCD,
理由:連接BD,
∵點(diǎn)M、N分別為四邊形ABCD邊AD、BC的中點(diǎn),
∴S△BDM= S△ABD,S△BDN= S△BCD,
∴S四邊形BNDM=S△BDM+S△BDN= (S△ABD+S△BCD)= S四邊形ABCD,
(2)連接BD.
∵M(jìn)、N是AD、BC中點(diǎn),
∴S△ABM=S△BDM,S△BDN=S△CDN,(等底同高的兩個(gè)三角形面積相等)
∴S四邊形BMDN= S四邊形ABCD.
同理,S四邊形ANCM= S四邊形ABCD.
∴S四邊形ANCM+S四邊形BMDN=S四邊形ABCD,
∴S四邊形MPNQ=S△ABP+S△CDQ=10;
(3)連接PM,
設(shè)DP=x,則PC=4﹣x,
∵AM∥DP,
∴ = ,
∴ = ,即 = ,
∵ = 且S△APM= AMAD=1,
∴S△MPE= ,
同理可得,S△MPF= ,
∴S= + =2﹣ ﹣ =2﹣ =2+ ≤2﹣ = ,
當(dāng)x=2時(shí),上式等號(hào)成立,
∴S的最大值為: .
所以答案是:(1)S四邊形BNDM= S四邊形ABCD;(2)10;(3)存在,最大值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一條筆直的公路上有、兩地,甲騎自行車從地到地;乙騎自行車從地到地,到達(dá)地后立即按原路返回,如圖是甲乙兩人離地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)圖像,根據(jù)圖像解答以下問(wèn)題:
(1)求出甲離地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求出點(diǎn)的坐標(biāo),并解釋改點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義;
(3)若兩人之間保持的距離不超過(guò)時(shí),能夠用無(wú)線對(duì)講機(jī)保持聯(lián)系,請(qǐng)直接寫(xiě)出甲、乙兩人能夠用無(wú)線對(duì)講機(jī)保持練習(xí)時(shí)的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E,且∠ADC=60°,AB= BC,連接OE.下列結(jié)論:①∠CAD=30°;②SABCD=ABAC;③OB=AB;④OE= BC,成立的個(gè)數(shù)有( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為倡導(dǎo)“低碳生活”,常選擇以自行車作為代步工具.如圖1所示是一輛自行車的實(shí)物圖,車架檔AC與CD的長(zhǎng)分別為45cm,60cm,且它們互相垂直,座桿CE的長(zhǎng)為20cm,車輪半徑28cm,點(diǎn)A,C,E在同一條直線上,且∠CAB=75°,如圖2
(1)求車座點(diǎn)E到地面的距離;(結(jié)果精確到1cm)
(2)求車把點(diǎn)D到車架檔直線AB的距離.(結(jié)果精確到1cm).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,AD∥BC,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)G,∠BCD=90°.
(1)求證:∠BAG=∠BGA;
(2)如圖2,若∠ABG=50°,∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)E、交射線GA于點(diǎn)F.求∠AFC的度數(shù);
(3)如圖3,線段AG上有一點(diǎn)P,滿足∠ABP=3∠PBG,過(guò)點(diǎn)C作CH∥AG.若在直線AG上取一點(diǎn)M,使∠PBM=∠DCH,請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(3,0)和(4,0)之間.則下列結(jié)論:
①a﹣b+c>0;
②3a+b=0;
③b2=4a(c﹣n);
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,△ABC滿足∠BCA=90°,AC=BC=,點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上,當(dāng)點(diǎn)A從原點(diǎn)開(kāi)始沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)時(shí),則點(diǎn)C始終在y軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B始終在第一象限運(yùn)動(dòng).
(1)當(dāng)AB∥y軸時(shí),求B點(diǎn)坐標(biāo).
(2)隨著A、C的運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)B落在直線y=3x上時(shí),求此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)在(2)的條件下,在y軸上是否存在點(diǎn)D,使以O、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形面積是4?如果存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,D是AB邊上一點(diǎn),圓O過(guò)D、B、C三點(diǎn),∠DOC=2∠ACD=90°.
(1)求證:直線AC是圓O的切線;
(2)如果∠ACB=75°,圓O的半徑為2,求BD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[閱讀]
在平面直角坐標(biāo)系中,以任意兩點(diǎn)P( x1,y1)、Q(x2,y2)為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為(,).
[運(yùn)用]
(1)如圖,矩形ONEF的對(duì)角線相交于點(diǎn)M,ON、OF分別在x軸和y軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,3),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .
(2)在直角坐標(biāo)系中,有A(﹣1,2),B(3,1),C(1,4)三點(diǎn),另有一點(diǎn)D與點(diǎn)A、B、C構(gòu)成平行四邊形的頂點(diǎn),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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