【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線:與軸相交于B,與軸相交于點A.直線:經(jīng)過原點,并且與直線相交于C點.
(1)求ΔOBC的面積;
(2)如圖2,在軸上有一動點E,連接CE.問CE+BE是否有最小值,如果有,求出相應(yīng)的點E的坐標(biāo)及CE+BE的最小值;如果沒有,請說明理由;
(3)如圖3,在(2)的條件下,以CE為一邊作等邊ΔCDE,D點正好落在軸上.將ΔDCE繞點D順時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角度為(0°≤≤360),記旋轉(zhuǎn)后的三角形為ΔDCE′,點C,E的對稱點分別為C′,E′.在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)C′E′所在的直線與直線相交于點M,與軸正半軸相交于點N.當(dāng)ΔOMN為等腰三角形時,求線段ON的長?
【答案】(1) ;(2)E(6,0),最小值為.(3) ON=或3-或6或33或3+3.
【解析】
(1)求出點B、C的坐標(biāo),就可以求出△OBC的面積;
(2)作點C關(guān)于x軸的對稱點P,作射線BP,過點C作CH⊥BP交x軸于點E,則CE+BE有最小值;
(3)分兩種情況:∠MON為等腰三角形的頂角或底角.
(1)如圖1,易求點B(9,0),解方程組 得: ;
故點C(,),
∴S△OBC=×9×=.
(2)如圖2,作點C關(guān)于x軸的對稱點P,作射線BP,過點E作EH⊥BP于點H,取BE中點I,連接HI.
易知:∠BOC=∠OBC=∠OBP=30°,∠BHE=90°,
∵IE=IB,
∴IH=IE=IB
∵∠BEH=60°,
∴△EIH是等邊三角形,
∴EH=EI=EB,
∴當(dāng)C、E、H三點共線且CH⊥BP時,CH的長度最小,即CE+BE有最小值;
∵OC=CB=3,∠BCH=30°,∠BHC=90°,
∴BH=BC=
∴CH=
=
故CE+BE有最小值為.
在Rt△BEH中,∵∠EBH=30°,
∴EH=BE,
∵BE2-EH2=BH2
∴BE=3
∴E(6,0).
(3)△OMN為等腰三角形,分三種情況:
①當(dāng)∠OMN=∠ONM時,
∵∠MON=30°,
∴∠OMN=∠ONM=75°
如圖3,當(dāng)∠OMN=∠ONM=75°時,∠C′DN=45°,∠DC′N=60°,
∴∠CDC′=α=15°,過點N作NG⊥DC′于G,
可求得GC′= ,
∴ON=
如圖4,當(dāng)∠OMN=∠ONM=75°時,∠C′DN=45°,旋轉(zhuǎn)角α=195°
過點N作NG⊥DC′于G,
可求得DN=,
∴ON=3-,
②如圖5,當(dāng)∠OMN=∠MON=30°時,∠ONM=120°,
此時旋轉(zhuǎn)角α=60°,易得ON=6
③如圖6,圖7,當(dāng)∠ONM=∠NOM=30°時,
∴∠OMN=120°,
∵∠DE′C′=60°,α=150°或330°,
∴DE′∥OM,
過點E′作E′G⊥x軸于G,可求得DN=3,
∴ON=33或3
綜上所述,ON=或3-或6或33或3+3.
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【題目】平面直角坐標(biāo)系中有正方形AOBC,O為坐標(biāo)原點,點A、B分別在y軸、x軸正半軸上,點P、E、F分別為邊BC、AC、OB上的點,EF⊥OP于M.
(1)如圖1,若點E與點A重合,點A坐標(biāo)為(0,8),OF=3,求P點坐標(biāo);
(2)如圖2,若點E與點A重合,且P為邊BC的中點,求證:CM=2CP;
(3)如圖3,若點M為線段OP的中點,連接AB交EF于點N,連接NP,試探究線段OP與NP的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,△ABC是邊長為24的等邊三角形,△CDE是等腰三角形,其中DC=DE=10,∠CDE=120°,點E在BC邊上,點F是BE的中點,連接AD、DF、AF,則AF的長為_____.
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【題目】閱讀材料:
對于線段的垂直平分線我們有如下結(jié)論:到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上.即如圖①,若PA=PB,則點P在線段AB的垂直平分線上.
請根據(jù)閱讀材料,解決下列問題:
如圖②,直線CD是等邊△ABC的對稱軸,點D在AB上,點E是線段CD上的一動點(點E不與點C、D重合),連結(jié)AE、BE,△ABE經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后與△BCF重合.
(1)旋轉(zhuǎn)中心是點 ,旋轉(zhuǎn)了 (度);
(2)當(dāng)點E從點D向點C移動時,連結(jié)AF,設(shè)AF與CD交于點P,在圖②中將圖形補全,并探究∠APC的大小是否保持不變?若不變,請求出∠APC的度數(shù);若改變,請說出變化情況.
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【題目】從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線于對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.
(1)如圖1,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù).
(3)如圖2,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長.
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【題目】用A、B兩種機器人搬運大米,A型機器人比B型機器人每小時多搬運20袋大米,A型機器人搬運700袋大米與B型機器人搬運500袋大米所用時間相等.求A、B型機器人每小時分別搬運多少袋大米.
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【題目】(1)如圖(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點A,BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.
(2) 如圖(2),將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3),D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點(D、A、E三點互不重合),點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀.
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【題目】如圖,已知△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對稱;在射線AD上取點E,連接BE, CE,如圖:在射線AD上取點F連接BF, CF,如圖,依此規(guī)律,第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是( )
A.nB.2n-1C.D.3(n+1)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2經(jīng)過平移得到拋物線y=x2﹣2x,其對稱軸與兩拋物線所圍成的陰影部分的面積是__________.
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