【題目】(引例)
如圖1,點(diǎn)A、B、D在同一條直線上,在直線同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△BDE,BA=BC,BE=BD,連接AE、CD.則AE與CD的關(guān)系是 .
(模型建立)
如圖2,在△ABC和△BDE中,BA=BC,BE=BD,∠ABC=∠DBE=α,連接AE、CD相交于點(diǎn)H.求證:①AE=CD;②∠AHC=α.
(拓展應(yīng)用)
如圖3,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,∠BDC=90°,BD=CD,∠BAD=45°.若AB=3,AD=4,求AC2的值.
【答案】(引例)AE=CD,AE⊥CD(模型建立)證明見(jiàn)解析(拓展應(yīng)用)41
【解析】
(引例)根據(jù)題意可以證明△ABE≌△CBD,進(jìn)而得出∠AEB=∠CDB,AE=CD,據(jù)此即可得解;
(模型建立)如圖2中,設(shè)AE交BC于點(diǎn)O.證明△ABE≌△CBD(SAS),推出∠EAB=∠DCB,可得結(jié)論.
(拓展應(yīng)用)如圖3中,作DE⊥DA,截取DE=DA,連接AE,BE.則∠ADE=90°,∠DAE=45°,證明△EDB≌△ADC(SAS),推出EB=AC,求出BE2即可解決問(wèn)題.
解:(引例)結(jié)論:AE=CD,AE⊥CD.
理由:如圖1中,延長(zhǎng)AE交CD于F.
∵在△ABE和△CBD中,
,
∴△ABE≌△CBD(ASA),
∴AE=CD,∠AEB=∠CDB,
∵∠AEB+∠EAB=90°,
∴∠CDB+∠EAB=90°,
∴∠AFD=90°,
∴AE⊥CD.
故答案為AE=CD,AE⊥CD.
(模型建立)如圖2中,設(shè)AE交BC于點(diǎn)O.
∵∠ABC=∠EBD,
∴∠ABE=∠CBD,
∵AB=CB,EB=DB,
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴∠EAB=∠DCB,
∵∠OAB+∠AOB+∠ABO=180°,∠OCH+∠COH+∠OHC=180°,∠AOB=∠COH,
∴∠OHC=∠OBA,即∠AHC=α.
(拓展應(yīng)用)如圖3中,作DE⊥DA,截取DE=DA,連接AE,BE.則∠ADE=90°,∠DAE=45°,
∵∠ADE=∠BDC=90°,
∴∠ADC=∠EDB,
∵DE=DA,DB=DC,
∴△EDB≌△ADC(SAS),
∴EB=AC,
∵∠BAD=∠EAD=45°,
∴∠EAB=∠EAD+∠BAD=90°,
在Rt△EAB中,AE2+AB2=BE2,
在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,
∵AD=4,AB=3,
∴AE2=32,BE2=41,
∴AC2=BE2=41.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在大課間活動(dòng)中,體育老師隨機(jī)抽取了七年級(jí)甲、乙兩班部分女學(xué)生進(jìn)行仰臥起坐的測(cè)試,并對(duì)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,繪制了頻數(shù)分布表和統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖表中的信息完成下列問(wèn)題:
分 組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第一組(0≤x<15) | 3 | 0.15 |
第二組(15≤x<30) | 6 | a |
第三組(30≤x<45) | 7 | 0.35 |
第四組(45≤x<60) | b | 0.20 |
(1)頻數(shù)分布表中a=_____,b=_____,并將統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)如果該校七年級(jí)共有女生180人,估計(jì)仰臥起坐能夠一分鐘完成30或30次以上的女學(xué)生有多少人?
(3)已知第一組中只有一個(gè)甲班學(xué)生,第四組中只有一個(gè)乙班學(xué)生,老師隨機(jī)從這兩個(gè)組中各選一名學(xué)生談心得體會(huì),則所選兩人正好都是甲班學(xué)生的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AF⊥DE于F,且DF=15cm,EF=6cm,AE=10cm.
(1)求AF的長(zhǎng);
(2)求正方形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】周日琪琪要騎車(chē)從家去書(shū)店買(mǎi)書(shū),一出家門(mén),遇到了鄰居亮亮,亮亮說(shuō):“今天有風(fēng),而且去時(shí)逆風(fēng),要吃虧了”,琪琪回答說(shuō):“去時(shí)逆風(fēng),回來(lái)時(shí)順風(fēng),和無(wú)風(fēng)往返一趟所用時(shí)間相同”.(順風(fēng)速度無(wú)風(fēng)時(shí)騎車(chē)速度風(fēng)速,逆風(fēng)速度無(wú)風(fēng)時(shí)騎車(chē)速度風(fēng)速)
(1)如果家到書(shū)店的路程是,無(wú)風(fēng)時(shí)琪琪騎自行車(chē)的速度是,他逆風(fēng)去書(shū)店所用時(shí)間是順風(fēng)回家所用時(shí)間的倍,求風(fēng)速是多少?
(2)如果設(shè)從家到書(shū)店的路程為千米,無(wú)風(fēng)時(shí)騎車(chē)速度為千米/時(shí),風(fēng)速為千米/時(shí),則有風(fēng)往返一趟的時(shí)間為___________,無(wú)風(fēng)往返一趟的時(shí)間為_______,請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明琪琪和亮亮誰(shuí)說(shuō)得對(duì).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,分別以線段AB兩端點(diǎn)A,B為圓心,以大于AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于C,D兩點(diǎn),作直線CD交AB于點(diǎn)M,DE∥AB,BE∥CD.
(1)判斷四邊形ACBD的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)求證:ME=AD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是胡老師帶領(lǐng)學(xué)生,探究SSA是否能判定兩個(gè)三角形全等的過(guò)程,請(qǐng)完成下列填空.
如圖:已知,在和中,________,(公共邊),,( ),,( ),則和滿足兩邊及一邊的對(duì)角分別相等,即滿足________________,很顯然:________,(填“全等于”或“不全等于”)下結(jié)論:SSA________(填“能”或“不能”)判定兩個(gè)三角形全等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠1=∠2,則下列條件中,不能使△ABC≌△DBC成立的是 ( 。
A. AB=CD B. AC=BD C. ∠A=∠D D. ∠ABC=∠DCB
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練,甲和乙所跑的路程S(單位:米)與所用時(shí)間t(單位:秒)之間的函數(shù)圖象分別為線段OA和折線OBCD.則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 兩人從起跑線同時(shí)出發(fā),同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)
B. 跑步過(guò)程中,兩人相遇一次
C. 起跑后160秒時(shí),甲、乙兩人相距最遠(yuǎn)
D. 乙在跑前300米時(shí),速度最慢
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一種實(shí)驗(yàn)用軌道彈珠,在軌道上行駛5分鐘后離開(kāi)軌道,前2分鐘其速度v(米/分)與時(shí)間t(分)滿足二次函數(shù)v=at2,后三分鐘其速度v(米/分)與時(shí)間t(分)滿足反比例函數(shù)關(guān)系,如圖,軌道旁邊的測(cè)速儀測(cè)得彈珠1分鐘末的速度為2米/分,求:
(1)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式.
(2)彈珠在軌道上行駛的最大速度.
【答案】(1)v=(2<t≤5) (2)8米/分
【解析】分析:(1)由圖象可知前一分鐘過(guò)點(diǎn)(1,2),后三分鐘時(shí)過(guò)點(diǎn)(2,8),分別利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)解析式;
(2)把t=2代入(1)中二次函數(shù)解析式即可.
詳解:(1)v=at2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),
∴a=2.
∴二次函數(shù)的解析式為:v=2t2,(0≤t≤2);
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為v=,
由題意知,圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,8),
∴k=16,
∴反比例函數(shù)的解析式為v=(2<t≤5);
(2)∵二次函數(shù)v=2t2,(0≤t≤2)的圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為y軸,
∴彈珠在軌道上行駛的最大速度在2秒末,為8米/分.
點(diǎn)睛:本題考查了反比例函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是從圖中得到關(guān)鍵性的信息:自變量的取值范圍和圖象所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo).
【題型】解答題
【結(jié)束】
24
【題目】閱讀材料:小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律:兩個(gè)頂角相等的等腰三角形,如果具有公共的頂角的頂點(diǎn),并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形.小胖把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.如圖1,在“手拉手”圖形中,小胖發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,則BD=CE.
(1)在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn);
借助小胖同學(xué)總結(jié)規(guī)律,構(gòu)造“手拉手”圖形來(lái)解答下面的問(wèn)題:
(2)如圖2,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,求證:AD+CD=BD;
(3)如圖3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=m°,點(diǎn)E為△ABC外一點(diǎn),點(diǎn)D為BC中點(diǎn),∠EBC=∠ACF,ED⊥FD,求∠EAF的度數(shù)(用含有m的式子表示).
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