Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，AB=10，過點A的直線交半圓于點C，且sin∠CAB=，連結(jié)BC，點D為BC的中點．已知點E在射線AC上，△CDE與△ACB相似，則線段AE的長為________；

Answer 1

【答案】3或9 或或

【解析】

先根據(jù)圓周角定理及正弦定理得到BC=8，再根據(jù)勾股定理求出AC=6，再分情況討論，從而求出AE.

∵AB是半圓O的直徑，

∴∠ACB=90，

∵sin∠CAB=，

∴,

∵AB=10，

∴BC=8，

∴,

∵點D為BC的中點,

∴CD=4.

∵∠ACB=∠DCE=90,

①當∠CDE1=∠ABC時，△ACB∽△E1CD,如圖

∴，即，

∴CE1=3，

∵點E1在射線AC上，

∴AE1=6+3=9，

同理：AE2=6-3=3.

②當∠CE3D=∠ABC時，△ABC∽△DE3C，如圖

∴，即，

∴CE3=，

∴AE3=6+=,

同理：AE4=6-=.

故答案為：3或9 或或.