Question

已知拋物線y=3ax²+2bx+c，
（1）若a=b=1，且當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍；
（2）若a+b+c=0，且當(dāng)x=0時(shí)，對應(yīng)的y＞0；當(dāng)x=1時(shí)，對應(yīng)的y＞0，試判斷當(dāng)0＜x＜1時(shí)，拋物線與x軸是否有公共點(diǎn)？若有，請證明你的結(jié)論；若沒有，闡述理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）將a、b的值代入已知函數(shù)解析式即可求得該拋物線的解析式．根據(jù)已知條件“當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”來求方程3x²+2x+c=0 判別式△=4-12c≥0，有c≤

1

3

．
（2）當(dāng)x=0時(shí)，對應(yīng)的y＞0，可以推知c＞0． ①；
當(dāng)x=1時(shí)，對應(yīng)的y＞0，可以推知3a+2b+c＞0，②
結(jié)合已知條件a+b+c=0，③，由①②③求得a＞c＞0．
然后結(jié)合關(guān)于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0的判別式△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，證得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，拋物線為y=3x²+2x+c，且與x軸有公共點(diǎn)．
對于方程3x²+2x+c=0，判別式△=4-12c≥0，有c≤

1

3

．
①當(dāng)c=

1

3

時(shí)，由方程3x2+2x+

1

3

=0，解得x1=x2=-

1

3

．
此時(shí)拋物線為y=3x2+2x+

1

3

與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)(-

1

3

，

0

．
②當(dāng)c＜

1

3

時(shí)，x₁=-1時(shí)，y₁=3-2+c=1+c，x₂=1時(shí)，y₂=3+2+c=5+c．
由已知-1＜x＜1時(shí)，該拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對稱軸為x=-

1

3

，
應(yīng)有

y1≤0 y2＞0.

即

1+c≤0 5+c＞0.

解得-5＜c≤-1．
綜上，c=

1

3

或-5＜c≤-1．

（2）在0＜x＜1范圍內(nèi)，該拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．理由如下：
對于二次函數(shù)y=3ax²+2bx+c，
由已知x₁=0時(shí)，y₁=c＞0；x₂=1時(shí)，y₂=3a+2b+c＞0，
又a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．
于是2a+b＞0．而b=-a-c，∴2a-a-c＞0，即a-c＞0．
∴a＞c＞0．
∵關(guān)于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0的判別式△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，
∴拋物線y=3ax²+2bx+c與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，頂點(diǎn)在x軸下方．
又該拋物線的對稱軸x=-

b

3a

，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得-2a＜b＜-a，∴

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

．
又由已知x₁=0時(shí)，y₁＞0；x₂=1時(shí)，y₂＞0，觀察圖象，
可知在0＜x＜1范圍內(nèi)，該拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．注意拋物線y=3ax²+2bx+c與關(guān)于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0間的關(guān)系．