Question

【題目】襄陽(yáng)市某企業(yè)積極響應(yīng)政府“創(chuàng)新發(fā)展”的號(hào)召，研發(fā)了一種新產(chǎn)品．已知研發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為30元/件，且年銷售量y（萬(wàn)件）關(guān)于售價(jià)x（元/件）的函數(shù)解析式為：y= ．
（1）若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤(rùn)為W（萬(wàn)元），請(qǐng)直接寫出年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于售價(jià)x（元/件）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)該產(chǎn)品的售價(jià)x（元/件）為多少時(shí)，企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？
（3）若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤(rùn)不少于750萬(wàn)元，試確定該產(chǎn)品的售價(jià)x（元/件）的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)40≤x＜60時(shí)，W=（x﹣30）（﹣2x+140）=﹣2x2+200x﹣4200，

當(dāng)60≤x≤70時(shí)，W=（x﹣30）（﹣x+80）=﹣x2+110x﹣2400

（2）

解：當(dāng)40≤x＜60時(shí)，W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2（x﹣50）2+800，

∴當(dāng)x=50時(shí)，W取得最大值，最大值為800萬(wàn)元；

當(dāng)60≤x≤70時(shí)，W=﹣x2+110x﹣2400=﹣（x﹣55）2+625，

∴當(dāng)x＞55時(shí)，W隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=60時(shí)，W取得最大值，最大值為：﹣（60﹣55）2+625=600，

∵800＞600，

∴當(dāng)x=50時(shí)，W取得最大值800，

答：該產(chǎn)品的售價(jià)x為50元/件時(shí)，企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)是800萬(wàn)元

（3）

解：當(dāng)40≤x＜60時(shí)，由W≥750得：﹣2（x﹣50）2+800≥750，

解得：45≤x≤55，

當(dāng)60≤x≤70時(shí)，W的最大值為600＜750，

∴要使企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤(rùn)不少于750萬(wàn)元，該產(chǎn)品的售價(jià)x（元/件）的取值范圍為45≤x≤55

【解析】（1）根據(jù)：年利潤(rùn)=（售價(jià)﹣成本）×年銷售量，結(jié)合x的取值范圍可列函數(shù)關(guān)系式；（2）將（1）中兩個(gè)二次函數(shù)配方后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最值情況，比較后可得答案；（3）根據(jù)題意知W≥750，可列關(guān)于x的不等式，求解可得x的范圍．本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，梳理題目中的數(shù)量關(guān)系，得出相等關(guān)系后分情況列出函數(shù)解析式，熟練運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵．