Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點E是AB邊上一動點，過點E作DE⊥AB交AC邊于點D，將∠A沿直線DE翻折，點A落在線段AB上的F處，連接FC，當(dāng)△BCF為等腰三角形時，AE的長為_____．

Answer 1

【答案】2或或．

【解析】

由勾股定理求出AB，設(shè)AE=x，則EF=x，BF=10﹣2x；分三種情況討論：

①當(dāng)BF=BC時，列出方程，解方程即可；

②當(dāng)BF=CF時，F在BC的垂直平分線上，得出AF=BF，列出方程，解方程即可；

③當(dāng)CF=BC時，作CG⊥AB于G，則BG=FGBF，由射影定理求出BG，再解方程即可．

由翻折變換的性質(zhì)得：AE=EF．

∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB10．

設(shè)AE=x，則EF=x，BF=10﹣2x．

分三種情況討論：

①當(dāng)BF=BC時，10﹣2x=6，

解得：x=2，

∴AE=2；

②當(dāng)BF=CF時．

∵BF=CF，

∴∠B=∠FCB．

∵∠A+∠B=90°，∠FCA+∠FCB=90°，

∴∠A=∠FCA，

∴AF= FC．

∵BF=FC，

∴AF=BF，

∴x+x=10﹣2x，

解得：x，

∴AE；

③當(dāng)CF=BC時，作CG⊥AB于G，如圖所示：

則BG=FGBF．

根據(jù)射影定理得：BC2=BGAB，

∴BG，

即(10﹣2x)，

解得：x，

∴AE；

綜上所述：當(dāng)△BCF為等腰三角形時，AE的長為：2或或．

故答案為：2或或．