【題目】如圖,拋物線y=x2﹣3x+4與x軸交于A、B兩點(A點在B點的左側(cè)),交y軸于點C.
(1)A點坐標為 ,B點坐標為 ,C點坐標為 ;
(2)如圖1,D為B點右側(cè)拋物線上一點,連接AD,若tan∠CAD=2,求D點坐標;
(3)E、F是對稱軸右側(cè)第一象限拋物線上的兩動點,直線AE、AF分別交y軸于M、N,如圖2.若OMON=2,直線EF上有且只有一點P到原點O的距離為定值,求出P點的坐標.
【答案】(1)A(2,0),B(4,0), C(0,4);(2)(,);(3)P(4,﹣1)
【解析】
(1)令y=0解一元二次方程求出A、B點的坐標,令x=0,求出C點的坐標;
(2)過C點作CE⊥AD于點E,則tan∠CAE=2,先證明Rt△AOC≌Rt△AEC,再求出AD所在的直線解析式為y=x﹣,最后聯(lián)立方程組求解D點坐標;
(3)設(shè)yAE=k1x+b1,yAF=k2x+b2,根據(jù)已知可求得k1k2=,分別求出E與F點坐標,表示出EF所在直線解析式為:y=(k1+k2+1)x﹣(4k1+4k2+5),直線EF經(jīng)過的定點即為P點.
(1)令y=x2﹣3x+4=0,解得x1=2,x2=4,故A(2,0),B(4,0);令x=0,則y=4,所以C點的坐標為(0,4);
(2)如圖,過C點作CE⊥AD于點E,則tan∠CAE=2,
由(1)知tan∠CAO==2,
∴∠CAE=∠CAO,
在Rt△AOC和Rt△AEC中,
∠CAE=∠CAO,
∠AOC=∠AEC=90°,
AC=AC,
∴Rt△AOC≌Rt△AEC(AAS)
∴CE=4,AE=2;
設(shè)E(m,n),
∴16=m2+(n﹣4)2,4=(m﹣2)2+n2,
∴m=2n,
∴m=,n=,
∴E(,),
設(shè)AD所在的直線解析式為y=kx+b,
把點A(2,0),E(,)代入,
解得,k=,b=,
∴y=x﹣,與y=x2﹣3x+4聯(lián)立解得,x1=2,x2=,
當(dāng)x=時,y=
所以D點的坐標為(,).
(3)設(shè)yAE=k1x+b1,yAF=k2x+b2,
經(jīng)過點A(2,0),
∴yAE=k1x﹣2k1,yAF=k2x﹣2k1,
∴OM=2k1,ON=2k2,
∵OMON=2,
∴k1k2=,
直線AE與拋物線的交點為:x2﹣3x+4=k1x﹣2k1,
∴E(4+2k1,2k12+2k1),F(4+2k2,2k22+2k2),
∴EF所在直線解析式為:y=(k1+k2+1)x﹣(4k1+4k2+5),
∴EF直線過定點(4,﹣1),此點到原點的距離為定值,
∴P(4,﹣1);
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,與y軸相交于點C(0,﹣3).
(1)求這個二次函數(shù)的表達式;
(2)若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點,PH⊥x軸于點H,與BC交于點M,連接PC.
①求線段PM的最大值;
②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時,求點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形AOBC中,O為坐標原點,OA、OB分別在x軸、y軸上,點B的坐標為(0,3),∠ABO=30°,將△ABC沿AB所在直線對折后,點C落在點D處,則點D的坐標為( )
A. (,)B. (2,)C. (,)D. (,3﹣)
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【題目】綜合與實踐
問題情境
數(shù)學(xué)課上,李老師提出了這樣一個問題:如圖1,點是正方形內(nèi)一點,,,.你能求出的度數(shù)嗎?
(1)小敏與同桌小聰通過觀察、思考、討論后,得出了如下思路:
思路一:將繞點逆時針旋轉(zhuǎn),得到,連接,求出的度數(shù).
思路二:將繞點順時針旋轉(zhuǎn),得到,連接,求出的度數(shù).
請參考以上思路,任選一種寫出完整的解答過程.
類比探究
(2)如圖2,若點是正方形外一點,,,,求的度數(shù).
拓展應(yīng)用
(3)如圖3,在邊長為的等邊三角形內(nèi)有一點,,,則的面積是______.
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【題目】為了解學(xué)生自主學(xué)習(xí)的具體情況,童老師隨機對部分學(xué)生進行了跟蹤調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分成四類,A:特別好;B:好;C:一般;D:較差,繪制成了以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖(每位學(xué)生只屬于一類),請你解答下列問題:
(1) 本次調(diào)查的樣本容量為__________
(2) 將條形統(tǒng)計圖補充完整
(3) D類所占扇形角的度數(shù)為__________
(4) 學(xué)校共有2000名學(xué)生,其中自主學(xué)習(xí)情況特別好的約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,P是對角線BD上的一點,點E在AD的延長線上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)證明:△APD≌△CPD;
(2)求∠CPE的度數(shù);
(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)∠ABC=120°時,連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,點E是AB邊上一動點,過點E作DE⊥AB交AC邊于點D,將∠A沿直線DE翻折,點A落在線段AB上的F處,連接FC,當(dāng)△BCF為等腰三角形時,AE的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于平面直角坐標系中,已知點A(-2,0)和點B(3,0),線段AB和線段AB外的一點P,給出如下定義:若45°≤∠APB≤90°時,則稱點P為線段AB的可視點,且當(dāng)PA=PB時,稱點P為線段AB的正可視點.
圖1 備用圖
(1) ①如圖1,在點P1(3,6),P2(-2,-5),P3(2,2)中,線段AB的可視點是 ;
②若點P在y軸正半軸上,寫出一個滿足條件的點P的坐標:__________.
(2)在直線y=x+b上存在線段AB的可視點,求b的取值范圍;
(3)在直線y=-x+m上存在線段AB的正可視點,直接寫出m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,F為邊AB的中點,DF與對角線AC交于點G,過G作GE⊥AD于點E,若AB=2,且∠1=∠2,則下列結(jié)論中一定成立的是_____(把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上).①DF⊥AB;②CG=2GA;③CG=DF+GE;④S四邊形BFGC=﹣1.
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