【題目】如圖1,在直角坐標(biāo)系中,直線l與x、y軸分別交于點(diǎn)A(4,0)、B(0,)兩點(diǎn),∠BAO的角平分線交y軸于點(diǎn)D. 點(diǎn)C為直線l上一點(diǎn),以AC為直徑的⊙G經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,且與x軸交于另一點(diǎn)E.
(1)求證:y軸是⊙G的切線;
(2)求出⊙G的半徑r,并直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)如圖2,若點(diǎn)F為⊙G上的一點(diǎn),連接AF,且滿足∠FEA=45°,請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)?
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)5,(1,4);(3)
【解析】
(1)連接GD通過(guò)證明GD⊥OB即可得到y軸是⊙G的切線;
(2)由GD⊥OB得到GD∥OA,則△BDG∽△BOA,通過(guò)對(duì)應(yīng)邊的比即可求出半徑r,根據(jù)相似可求出AE、CE的長(zhǎng),即可得到C點(diǎn)坐標(biāo);
(3)由于∠FEA=45°,所以可以連接CE、CF構(gòu)造直角三角形.由于要求的EF是弦,所以過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF,然后利用垂徑定理即可求出EF的長(zhǎng)度.
解:(1)連接GD,
∵∠OAB的角平分線交y軸于點(diǎn)D,
∴∠GAD=∠DAO,
∵GD=GA,
∴∠GDA=∠GAD,
∴∠GDA=∠DAO,
∴GD∥OA,
∴∠BDG=∠BOA=90°,
∵GD為半徑,
∴y軸是⊙G的切線;
(2)∵A(4,0),B(0,),
∴OA=4,OB=,
在Rt△AOB中, ,
設(shè)半徑GD=r,則BG=,
由GD⊥OB得到GD∥OA,
∴△BDG∽△BOA,
∴,
∴,
解得;
因此直徑AC=10,
如圖,連接CE,
由于AC為直徑,因此CE⊥AE,
容易得到△ABO∽△ACE,
∴,
∴,
解得CE=4,AE=3,
∴OE=4-3=1,
∴C的坐標(biāo)為(1,4);
(3)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF于H,連接CE、CF,
∵AC是直徑,
∴,∠AEC=∠AFC=90°,
∵∠FEA=45°,且∠FEA所對(duì)的弧為弧AF,
∴∠FCA=∠FEA =45°,
∴△ACF為等腰直角三角形,
∴AF=CF,
∵,
∴AF=CF=,
設(shè)OE=m
∴AE=4-m
∵CE∥OB
∴△ACE∽△ABO
∴
∴CE=
在直角三角形ACE中,CE2+AE2=AC2,
∴
∴a=1或a=7(不合題意,舍去)
∴AE=3
∴在Rt△AEH中,
由勾股定理可得,AH=EH=,
∴在Rt△AEH中,FH2=AF2-AH2=
∴FH=,
∴EF=EH+FH=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】河南靈寶蘋(píng)果為中華蘋(píng)果之翹楚,被譽(yù)為“中華名果”.某水果超市計(jì)劃從靈寶購(gòu)進(jìn)“紅富士”與“新紅星”兩種品種的蘋(píng)果.已知2箱紅富士蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)與3箱新紅星蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)的和為282元,且每箱紅富士蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)比每箱新紅星蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)貴6元.
(1)求每箱紅富士蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)與每箱新紅星蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)分別是多少元?
(2)如果購(gòu)進(jìn)紅富士蘋(píng)果有優(yōu)惠,優(yōu)惠方案是:購(gòu)進(jìn)紅富士蘋(píng)果超過(guò)20箱,超出部分可以享受七折優(yōu)惠.若購(gòu)進(jìn)(,且為整數(shù))箱紅富士蘋(píng)果需要花費(fèi)元,求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,超市決定在紅富士、新紅星兩種蘋(píng)果中選購(gòu)其中一種,且數(shù)量超過(guò)20箱,請(qǐng)你幫助超市選擇購(gòu)進(jìn)哪種蘋(píng)果更省錢(qián).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年5月16日,“錢(qián)塘江詩(shī)路”航道全線開(kāi)通,一艘游輪從杭州出發(fā)前往衢州,線路如圖1所示.當(dāng)游輪到達(dá)建德境內(nèi)的“七里揚(yáng)帆”景點(diǎn)時(shí),一艘貨輪沿著同樣的線路從杭州出發(fā)前往衢州.已知游輪的速度為20km/h,游輪行駛的時(shí)間記為t(h),兩艘輪船距離杭州的路程s(km)關(guān)于t(h)的圖象如圖2所示(游輪在停靠前后的行駛速度不變).
(1)寫(xiě)出圖2中C點(diǎn)橫坐標(biāo)的實(shí)際意義,并求出游輪在“七里揚(yáng)帆”?康臅r(shí)長(zhǎng).
(2)若貨輪比游輪早36分鐘到達(dá)衢州.問(wèn):
①貨輪出發(fā)后幾小時(shí)追上游輪?
②游輪與貨輪何時(shí)相距12km?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,中,邊上的高,點(diǎn)在上,且,點(diǎn)在上,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在高上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)可左右移動(dòng)的最大距離是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=8,BC=10,以B為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交BA、BC于點(diǎn)M和N,再分別以M、N為圓心,大于MN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)BP并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D,若△BDC的面積為20,則△ABD的面積為( )
A.20B.18C.16D.12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求k的取值范圍;
(2)設(shè)方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,當(dāng)k=1時(shí),求x12+x22的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校鼓勵(lì)師生利用課余時(shí)間廣泛閱讀,為了解學(xué)生課外閱讀情況,抽樣調(diào)查了部分學(xué)生每周用于課外閱讀的時(shí)間,過(guò)程如下:
數(shù)據(jù)收集:從全校隨機(jī)抽取20名學(xué)生,進(jìn)行了每周用于課外閱讀時(shí)間的調(diào)查,數(shù)據(jù)如下單位:min)
30 | 60 | 81 | 50 | 40 | 110 | 130 | 146 | 90 | 100 |
60 | 81 | 120 | 140 | 70 | 81 | 10 | 20 | 100 | 81 |
分段整理樣本數(shù)據(jù):
課外閱讀時(shí)間 | ||||
等級(jí) | D | C | B | A |
人數(shù) | 3 | ① | 8 | ② |
統(tǒng)計(jì)量:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
80 | ③ | ④ |
得出結(jié)論:
(1)填寫(xiě)表格中的數(shù)據(jù):
(2)如果該,F(xiàn)有學(xué)生400人,估計(jì)等級(jí)為“B”的學(xué)生有多少名?
(3)假設(shè)平均閱讀一本課外書(shū)的時(shí)間為160分鐘,請(qǐng)你選擇樣本中的一種統(tǒng)計(jì)量估計(jì)該校學(xué)生每人一年(按52周計(jì)算)平均閱讀多少本課外書(shū)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】疫情期間,口罩供不應(yīng)求.某口罩企業(yè)為指導(dǎo)生產(chǎn),在二月份期間對(duì)甲乙丙丁四條生產(chǎn)線日產(chǎn)量進(jìn)行調(diào)研,根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù),繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.觀察統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)解答以下問(wèn)題:
(1)求二月份該企業(yè)口罩單日產(chǎn)量(二月份計(jì)天).
(2)求乙條生產(chǎn)線單日產(chǎn)量是多少,并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.
(3)為滿足市場(chǎng)需求,該公司改進(jìn)生產(chǎn)技術(shù),使得口罩產(chǎn)量在二月的基礎(chǔ)上逐月提高,已知月份口罩產(chǎn)量為萬(wàn)只,若三月份和四月份口罩月產(chǎn)量平均增長(zhǎng)率相同,求每月的平均增長(zhǎng)率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線BC與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)B,C是反比列函數(shù)y=(x>0)圖象上的點(diǎn),OB⊥BC于點(diǎn)B,∠BOD=60°.
(1)求直線AB的解析式;
(2)求反比例函數(shù)的解析式;
(3)若△AOB的面積為S1,△BOC的面積為S2,△DOC的面積為S3,直接寫(xiě)出S1,S2,S3的一個(gè)數(shù)量關(guān)系式:
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