Question

【題目】如圖，將直角的頂點(diǎn)放在正方形的對(duì)角線上，使角的一邊交于點(diǎn)，另一邊交或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：；

如圖，將直角頂點(diǎn)放在矩形的對(duì)角線交點(diǎn)，、分別交與于點(diǎn)、，且平分．若，，求、的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2),.

【解析】

（1）首先過(guò)點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、P，然后利用ASA證得Rt△FEP≌Rt△GEH，則問(wèn)題得證；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥CD于N，垂足分別為M、N，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥EG交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥EF垂足為Q，可得四邊形EPCQ是矩形，四邊形EMCN是矩形，可得EC平分∠FEG，可得矩形EPCQ是正方形，然后易證△PCG≌△QCF（AAS），進(jìn)而可得：CG=CF，由EM∥AB，EN∥AD知△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，從而可得EF：EG=BC：AB=2，進(jìn)而可得：EF=2EG，然后易證EM和EN分別是△ABC和△BCD的中位線，進(jìn)而可得：EM=1，EN=2，MC=2，CN=1，然后易證△EMG∽△ENF，進(jìn)而可得MG：NF=EM：EN=1：2，即NF=2MG，然后設(shè)MG=x，根據(jù)CG=CF，列出方程即可解出x的值，即MG的值，然后在Rt△EMG中，由勾股定理即可求出EG的值，進(jìn)而可得EF的值．

解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，

∵四邊形為正方形，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，垂足分別為、，
過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂足為，

則四邊形是矩形，四邊形是矩形，
∵平分，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，．
∴，，
∴、，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵點(diǎn)放在矩形的對(duì)角線交點(diǎn)，
∴和分別是和的中位線，
∴，，，，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
設(shè)，則，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∵，
∴．