Question

已知方程：x³-3x²+（m+2）x-m=0的三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根為一個(gè)三角形三邊的長，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、0＜m＜1
• B、m＞

  3

  4

• C、

  3

  4

  ＜m＜1
• D、1＜m＜

  4

  3

Answer 1

考點(diǎn)：三角形邊角關(guān)系

專題：

分析：由x³-3x²+（m+2）x-m=0，利用因式分解法可得：（x-1）（x²-2x+m）=0，即可求得有一根為1，設(shè)x₁，x₂是x²-2x+m=0的兩根，又由x³-3x²+（m+2）x-m=0的三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根為一個(gè)三角形三邊的長，可得△=（-2）²-4m＞0，x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁，x₂=4-4m，又由|x₁-x₂|＜1，可得4-4m＜1，繼而求得答案．

解答：解：∵x³-3x²+（m+2）x-m=（x³-x²）-[2x²-（m+2）x+m]=x²（x-1）-（2x-m）（x-1）=（x-1）（x²-2x+m）=0，
∴x-1=0或x²-2x+m=0，
∴有一根為1，
∵x³-3x²+（m+2）x-m=0的三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，
∴x²-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為一個(gè)三角形三邊的長，
∴△=（-2）²-4m＞0，
解得：m＜1，
設(shè)x₁，x₂是x²-2x+m=0的兩根，
則x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁，x₂=4-4m，
∵|x₁-x₂|＜1，
∴4-4m＜1，
解得：m＞

3

4

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是：

3

4

＜m＜1．
故選C．

點(diǎn)評：此題考查了三角形的三邊關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及因式分解的應(yīng)用．此題難度較大，注意能得到（x-1）（x²-2x+m）=0是解此題的關(guān)鍵．