Question

【題目】已知AM是△ABC的中線，點D在線段AM上[點D不與點A重合），過點D作DF∥AB交AC邊于點F，過點C作CE∥AM交DF的延長線于點E，連接AE．

（1）如圖1，當點D與點M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）如圖2，當點D不與點M重合時，過點M作MG∥DE交EC于點G，連接BD、AG在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有的平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）圖中所有的平行四邊形為平行四邊形ABMG，平行四邊形AMCG，平行四邊形DEGM，平行四邊形ABDE.

【解析】

（1）由平行線的性質得出∠EDC=∠ABD，∠ECD=∠ADB，由中線性質得出BD=DC，證明△ABD≌△EDC，得出AB=ED，即可得出結論；
（2）同（1）得：四邊形ABMG是平行四邊形，得出AG∥BC，AB=MG，由CE∥AM，得出四邊形AMCG是平行四邊形，由MG∥DE，CE∥AM，得出四邊形DEGM是平行四邊形，得出DE=MG，證出AB=DE，即可得出四邊形ABDE是平行四邊形．

解：（1）證明：∵DF∥AB，CE∥AM，

∴∠EDC＝∠ABD，∠ECD＝∠ADB，

∵AM是△ABC的中線，且D與M重合，

∴BD＝DC，

在△ABD和△EDC中，

∴△ABD≌△EDC（ASA），

∴AB＝ED，

∵AB∥ED，

∴四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）圖中所有的平行四邊形為平行四邊形ABMG，平行四邊形AMCG，平行四邊形DEGM，平行四邊形ABDE；理由如下：

同（1）得：四邊形ABMG是平行四邊形，

∴AG∥BC，AB＝MG，

∵CE∥AM，

∴四邊形AMCG是平行四邊形，

∵MG∥DE，CE∥AM，

∴四邊形DEGM是平行四邊形，

∴DE＝MG，

∴AB＝DE，

又∵DF∥AB，

∴四邊形ABDE是平行四邊形．