【題目】張老師給愛(ài)好學(xué)習(xí)的小軍和小俊提出這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖①,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P為邊BC上的任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分別為D、E,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB,垂足為F.求證:PD+PE=CF.
小軍的證明思路是:如圖2,連接AP,由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得:PD+PE=CF.
小俊的證明思路是:如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CF,垂足為G,可以證得:PD=GF,PE=CG,則PD+PE=CF.
【變式探究】如圖③,當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí),其余條件不變,求證:PD﹣PE=CF;請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下題:
【結(jié)論運(yùn)用】如圖④,將矩形ABCD沿EF折疊,使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上,點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處,點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分別為G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值.
【答案】見解析.
【解析】
試題分析:證明:(方法1)連接AP,如圖②∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,且S△ABC=S△ABP+S△ACP,∴ABCF=ABPD+ACPE,∵AB=AC,∴CF=PD+PE;
(方法2)過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CF,垂足為G,如圖②,∵PD⊥AB,CF⊥AB,PG⊥FC,∴∠CFD=∠FDP=∠FGP=90°,∴四邊形PDFG是矩形,∴DP=FG,∠DPG=90°,∴∠CGP=90°,∵PE⊥AC,∴∠CEP=90°,∴∠PGC=∠CEP,∵∠BDP=∠DPG=90°,∴PG∥AB,∴∠GPC=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠GPC=∠ECP,在△PGC和△CEP中,,∴△PGC≌△CEP,∴CG=PE,∴CF=CG+FG=PE+PD;
【變式探究】證明:連接AP,如圖③,∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP,∴ABCF=ABPD﹣ACPE,∵AB=AC,∴CF=PD﹣PE;
【結(jié)論運(yùn)用】過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BC,垂足為Q,如圖④,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠C=∠ADC=90°,∵AD=8,CF=3,∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5,由折疊可得:DF=BF,∠BEF=∠DEF,∴DF=5,∵∠C=90°,∴DC==4,∵EQ⊥BC,∠C=∠ADC=90°,∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC,∴四邊形EQCD是矩形,∴EQ=DC=4,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB,∵∠BEF=∠DEF,∴∠BEF=∠EFB,∴BE=BF,由問(wèn)題情境中的結(jié)論可得:PG+PH=EQ,∴PG+PH=4,∴PG+PH的值為4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,內(nèi)接于,是弧的中點(diǎn),交于點(diǎn),且,連接,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接,于,若,,則________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,分別以AC、BC、AB為直徑作半圓,如圖所示,則陰影部分的面積是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的面積為4,點(diǎn)F,G分別是AB,DC的中點(diǎn),將點(diǎn)A折到FG上的點(diǎn)P處,折痕為BE,點(diǎn)E在AD上,則AE長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),CE∥BD,EB∥AC,連接OE,交BC于F.
(1)求證:OE=CB;
(2)如果OC: OB=1:2,OE=,求菱形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校舉行全體學(xué)生“漢字聽寫”比賽,每位學(xué)生聽寫漢字39個(gè).隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的聽寫結(jié)果,繪制成如下的圖表.
組別 | 正確字?jǐn)?shù)x | 人數(shù) |
A | 0≤x<8 | 10 |
B | 8≤x<16 | 15 |
C | 16≤x<24 | 25 |
D | 24≤x<32 | m |
E | 32≤x<40 | n |
根據(jù)以上信息完成下列問(wèn)題:
(1)統(tǒng)計(jì)表中的m= ,n= ,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“C組”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是 ;
(3)已知該校共有900名學(xué)生,如果聽寫正確的字的個(gè)數(shù)少于24個(gè)定為不合格,請(qǐng)你估計(jì)該校本次聽寫比賽不合格的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在運(yùn)動(dòng)會(huì)徑賽中,甲、乙同時(shí)起跑,剛跑出200m,甲不慎摔倒,他又迅速地爬起來(lái)繼續(xù)投入比賽,若他們所跑的路程y(m)與比賽時(shí)間x(s)的關(guān)系如圖,有下列說(shuō)法:①他們進(jìn)行的是800m比賽;②乙全程的平均速度為6.4m/s;③甲摔倒之前,乙的速度快;④甲再次投入比賽后的平均速度為7.5m/s;⑤甲再次投入比賽后在距離終點(diǎn)300米時(shí)追上了乙.其中正確的個(gè)數(shù)有( 。
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某海爾專賣店春節(jié)期間,銷售10臺(tái)Ⅰ型號(hào)洗衣機(jī)和20臺(tái)Ⅱ型號(hào)洗衣機(jī)的利潤(rùn)為4000元,銷售20臺(tái)Ⅰ型號(hào)洗衣機(jī)和10臺(tái)Ⅱ型號(hào)洗衣機(jī)的利潤(rùn)為3500元.
(1)求每臺(tái)Ⅰ型號(hào)洗衣機(jī)和Ⅱ型號(hào)洗衣機(jī)的銷售利潤(rùn);
(2)該商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的洗衣機(jī)共100臺(tái),其中Ⅱ型號(hào)洗衣機(jī)的進(jìn)貨量不超過(guò)Ⅰ型號(hào)洗衣機(jī)的進(jìn)貨量的2倍,問(wèn)當(dāng)購(gòu)進(jìn)Ⅰ型號(hào)洗衣機(jī)多少臺(tái)時(shí),銷售這100臺(tái)洗衣機(jī)的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=﹣x+b分別交x,y軸的正半軸于點(diǎn)A,B,交反比例函數(shù)y=﹣的圖象于點(diǎn)C,D(點(diǎn)C在第二象限內(nèi)),過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E,記四邊形OBCE的面積為S1,△OBD的面積為S2,若,則CD的長(zhǎng)為____.
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