Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm.動點P在線段AC上以5 cm/s的速度從點A運動到點C.過點P作PD⊥AB于點D，以PD為一邊向右作矩形PDEF，并且使DE＝AD.設點P的運動時間為t s，矩形PDEF和△ABC重疊部分圖形周長為y cm．

(1)當點F落在邊BC上時，求t的值；

(2)求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當矩形PDEF的面積被線段BC平分時，t＝______．

Answer 1

【答案】(1) t＝；(2)①y＝14t；②y＝t＋；③y＝－t＋20；(3) ．

【解析】

（1）如圖1，由題意得出AB＝10、AP＝5t、PC＝85t，利用△APD∽△ABC求得AD＝4t、PD＝3t，據(jù)此知PF＝DE＝AD＝4t，由△CPF∽△CAB得，據(jù)此可得答案；

（2）分0＜t≤，＜t≤和≤t≤這三種情況，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出重合部分圖形的各邊長度，從而得解；

（3）根據(jù)（1）、（2）所求結(jié)果，表示出四邊形PDEF的面積為PDDE＝12t2、梯形PMBD的面積為(PM＋BD)·PD＝×[(8－5t)＋10－4t]×3t，，根據(jù)題意列出方程，解之可得．

（1）如圖1，當點F落在BC上時，

∵AC＝8 cm，BC＝6 cm，∠C＝90°，

∴AB＝10cm，

由題意知，AP＝5t，

∵四邊形PDEF為矩形，

∴∠PDA＝∠C＝90°，PF∥AB，PF＝DE，

∵∠A＝∠A，

∴△APD∽△ABC，

∴＝＝，即＝＝，則AD＝4t，PD＝3t，

∴PC＝AC－AP＝8－5t，PF＝DE＝AD＝4t，

∵PF∥AB，

∴△CPF∽△CAB，

∴，即，

解得t＝；

（2）①如圖2，當0＜t≤時，

由(1)知，PD＝EF＝3t，PF＝DE＝4t，則y＝2(3t＋4t)＝14t；

②如圖3，當＜t≤時，

∵AP＝5t，AD＝DE＝4t，

∴PC＝8－5t，BE＝10－8t，

由△CPH∽△CAB知，，即，

解得PH＝(8－5t)，CH＝(8－5t)，

由△BEG∽△BCA知，，即，

解得EG＝(10－8t)，BG＝(10－8t)，

則HG＝BC－CH－BG＝6－(8－5t)－(10－8t)＝t－，

∴y＝3t＋4t＋(8－5t)＋t－＋(10－8t)＝t＋，

③如圖4，當≤t≤時，

∵AP＝5t，AD＝DE＝4t，PD＝3t，

∴PC＝8－5t，BD＝AB－AD＝10－4t，

由②知，PM＝(8－5t)，CM＝(8－5t)，則BM＝BC－CM＝6－(8－5t)＝t，

∴y＝3t＋10－4t＋(8－5t)＋t＝－t＋20；

（3）如圖4，

由(1)知，四邊形PDEF的面積為PD·DE＝3t·4t＝12t2，

由(2)得梯形PMBD的面積為(PM＋BD)·PD＝×[(8－5t)＋10－4t]×3t，

∴根據(jù)題意得：×[(8－5t)＋10－4t]×3t＝×12t2，

解得t＝，

故答案為：．