Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，且∠AED=45°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若四邊形ABCD的周長(zhǎng)是2

2

+4，求⊙O的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,平行四邊形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）連接OD，由同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍求出∠AOD為直角，再由平行四邊形的對(duì)邊平行得到DC與AB平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠ODC為直角，即DC垂直于OD，即可確定出DC為圓的切線；
（2）設(shè)圓的半徑是r，根據(jù)△AOD是等腰直角三角形，則AD=

2

r，然后根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)，即可列方程求得r的值，進(jìn)而求得圓的面積．

解答：證明：（1）連接OD，
∵∠AOD與∠AED都對(duì)

AD

，∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴∠ODC=∠AOD=90°，
∴DC⊥OD，
則CD為圓O的切線；

（2）設(shè)圓的半徑是r，在直角△AOD中，AD=

2

r，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB=2r，AD=BC=

2

r，
∴4r+2

2

r=2

2

+4，
解得：r=1，
則⊙O的面積是π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，涉及的知識(shí)有：圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．