Question

如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，∠B=20°，∠C=60°．
（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度數(shù)．
（2）若圖形發(fā)生了變化，已知的兩個角度數(shù)改為：當(dāng)∠B=30°，∠C=60°則∠EAD=

 

°；當(dāng)∠B=50°，∠C=60°時，則∠EAD=

 

°；
當(dāng)∠B=60°，∠C=60°時，則∠EAD=

 

°；當(dāng)∠B=70°，∠C=60°時，則∠EAD=

 

°．
（3）若∠B和∠C的度數(shù)改為用字母α和β來表示，你能找到∠EAD與α和β之間的關(guān)系嗎？請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)∠B=20°，∠C=60°，利用三角形的內(nèi)角和是180°得出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)AE是角平分線，AD是高，分別得出∠EAC和∠DAC的度數(shù)，進而求出∠AEC和∠EAD；
（2）根據(jù)∠B與∠C，利用三角形的內(nèi)角和是180°得出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)AE是角平分線，AD是高，分別得出∠EAC和∠DAC的度數(shù)，那么①②③中∠EAD=∠EAC-∠DAC，④中∠EAD=∠DAC-∠EAC；
（3）它的證明過程同（2），只不過把∠B和∠C的度數(shù)用字母代替，從而用字母表示出各個角的度數(shù)．

解答：解：（1）（1）∵∠B=20°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-20°-60°=100°，
∵AE是角平分線，
∴∠EAC=50°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=50°-30°=20°，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠C=180°-50°-60°=70°；

（2）①∵∠B=30°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-30°-60°=90°，
∵AE是角平分線，
∴∠EAC=45°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=45°-30°=15°；
②∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-50°-60°=70°，
∵AE是角平分線，
∴∠EAC=35°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°；
③∵∠B=60°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°，
∵AE是角平分線，
∴∠EAC=30°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=30°-30°=0°；
④∵∠B=70°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-70°-60°=50°，
∵AE是角平分線，
∴∠EAC=25°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=30°-25°=5°；
故答案為：15°，5°，0°，5°；

（3）當(dāng)α＜β時，
∵∠B=α°，∠C=β°，
∴∠BAC=180°-α°-β°，
∵AE是角平分線，
∴∠EAC=（90-

1

2

α-

1

2

β）°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-β°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=[（90-

1

2

α-

1

2

β）°-（90°-β°）]=

1

2

（β-α）°；
當(dāng)α＞β時，
∵∠B=α°，∠C=β°，
∴∠BAC=180°-α°-β°，
∵AE是角平分線，
∴∠EAC=（90-

1

2

α-

1

2

β）°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-β°，
∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=[（90°-β°）-（90-

1

2

α-

1

2

β）°]=

1

2

（α-β）°．
答：當(dāng)α＜β時，∠EAD=

1

2

（β-α）°，當(dāng)α＞β時，∠EAD=

1

2

（α-β）°．

點評：此題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形的角平分線、高、中線，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，分別求出各個角的度數(shù)．